哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：微分方程在经济中的应用院（系）理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名赵忠媛学号******** 指导教师姜秀英职称副教授2013年05月03日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章微分方程的基本理论 (3)1.1微分方程的概念 (3)1.2微分方程的解 (4)第二章微分方程的经济模型 (8)2.1 经济增长模型 (8)2.2供需均衡的价格调整模型 (9)2.3索洛新古典经济增长模型 (10)2.4公司资产函数模型 (11)2.5新产品的推广模型 (12)2.6人才分配模型 (13)2.7价格调整模型 (14)第三章微分方程在经济中的应用举例 (16)3.1商品的需求量(供应量)问题 (16)3.2产量、收入、成本及利润问题 (18)3.3国民收入问题 (20)3.4国民债务问题 (21)3.5流动的收入、消费和投资问题 (21)3.6商品存储过程中的腐败问题 (22)3.7汽车中的经济问题 (22)参考文献 (25)后记 (26)摘要本文首先把微分方程的基本理论进行了概述，通过对微分方程概念和解的介绍，给下文的微分方程在经济中的应用做了很好的铺垫，在介绍微分方程基本理论的基础上，介绍了微分方程的七种经济模型，并通过对经济模型的求解，解释了相应经济量的意义或规律，结合具体的社会经济实际意义进行了分析和推断。

把微分方程应用到社会经济领域中，列举了微分方程在经济中的七个方面的应用。

关键词: 微分方程；数学模型；经济增长；应用举例；ABSTRACTIn this paper,the basic theory of differential equations are summarized .Based on the differential equations to introduce the concept of reconciliation .Application to differential equation below in the economy have made the very good upholstery.After introducing the basic concepts ,seven kinds of mathematical economic models are also presented.To explain the economic quantity corresponding meaning or laws through the solution. then explaining and counting the differential equations.analysis and deduce the concrete reality meaning of social economy.Then the differential equation is applied to the field of social economy and the seven aspects in the economy of the differential equation.Key words:Differential equation;Mathematic model;Economic growth;Examples of application第一章 微分方程的基本理论微分方程是伴随着微积分发展起来的，微积分是它的本体，生产生活实践是它的源泉。

300年来，微分方程诞生于数学与自然科学进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法。

微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。

随着社会的发展，数学与经济学相互促进共同发展已被越来越多的人认识和接受。

作为高等数学基础内容之一的微分学，它在经济领域中的应用日益广泛，也是经济工作者和决策者进行实践和研究的重要工具之一。

1、1 微分方程的概念什么是微分方程？在经济应用中能用到哪些关于微分方程的知识？早在一百多年前，马克思就研究了这些问题，那么现在我们是怎样给它定义的呢？ 定义1 含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程．定义2 未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元 函数，从而出现多元函数的偏导数的方程，叫做偏微分方程。

如222220x y z z yz xz a x y∂∂-==∂∂、就是偏微分方程。

定义3 微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫做微分方程的阶。

定义4 若一个微分方程的阶为n ，则称这个微分方程为n 阶微分方程。

如2dy xy dx =是一阶微分方程，22320d y dyy dx dx-+=是二阶微分方程。

定义5 如果将一个函数代入微分方程后能使方程两端恒等，则称此函数为 微分方程的解。

定义6 求微分方程解的过程，叫做解微分方程。

若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称为通解。

当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，这是微分方程的特解。

例如2y x C =+是2y x '=的通解，又如212x x y C e C e =+（ 1 2C C 是任意常数）是22320d y dyy dx dx-+=的通解，而21 122+=+=x y x y 都是2y x '=的特解。

通常，特解都是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这里用来确定特解的条件，叫做初始条件。

一般地，一阶微分方程的初始条件为：00x x y y -=；二阶微分方程的初始条件为：00x x y y -= 00x x y y -''=对于形如()()n y f x =的微分方程，只要通过逐次积分（n 次），便可得到通解 例1 求微分方程1y x '''=+的通解. 解 将所给方程两边积分一次，得()121211C x x C dx x y ++=++=''⎰两边再积分，得212312216121C x C x x dx C x x y +++=⎪⎭⎫⎝⎛++='⎰第三次积分，得32213421232612412161C x C x C x x dx C x C x x y ++++=⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎰因此所求的微分方程的通解为432123112462C y x x x C x C =++++ ()123 C C C 为常数1、2 微分方程的解微分方程通过结构的不同，大致可以分为以下几类：根据经济中所涉及到的微分方程，我们可以给出微分方程不同的解法。

()1可分离变量微分方程如果一个一阶微分方程(),,0F x y y '=能写成()()g y dy f x dx =的形式，那么原方程(),,0F x y y '=就称为可分离变量微分方程。

()()g y dy f x dx =称为变量已分离方程。

例如()()()22221111,11dy dy x y xy x y dy x dx dx dx y =+++⇒=++⇒=++是可分离变 量方程。

设()0g y ≠，则方程可写成变量已分离的方程()()dyf x dxg y =，若函数f 与g 连续，则两边分别对x 和y 积分，得()()dyf x dx cg y =+⎰⎰，就为变量可分离方程的通解，其中c 为任意常数。

()2齐次微分方程 如果一阶微分方程可写成dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的形式，则称原方程为齐次微分方程。

例如()220dy x yx y dx xydy dx y x+-=⇒=+是齐次方程。

引入新的变换，yu x=，即y ux =就可将齐次方程化为变量可分离方程，因为+dy du x u dx dx =，所以()du x u f u dx +=分离变量，得()1du dx f u u x=-于是得到dufu ux ce-⎰=，将变量还原，便可得原方程的通解。

()3一阶线性微分方程形如()()y p x y q x '+=的方程称为一阶线性方程。

如果()0q x ≡，则方程称为一阶线性齐次方程，否则方程称为一阶线性非齐次方程。

例如()1202dy dy x y y dx dx x -=⇒-=-是一阶线性齐次方程。

22335505x x y y x x ''+-=⇒=+是一阶线性非齐次方程。

对于一阶线性齐次微分方程方程()0y p x y '+=是变量可分离的方程，其通解为()p x dxy ce -⎰=其中c 为任意常数。

对于一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=是齐次方程的一般情况，我们可以设想线性非齐次微分方程有形如()()p x dx y c x e -⎰=的解，但其中c 为x 的待定函数，()()()()()p x dx p x dxy c x e c x e p x --⎰⎰''=-⋅将y 与y '代入方程 ()()y p x y q x '+= 并整理得()()()p x dxc x q x e ⎰'=，两端积分，得()()()p x dxc x q x e dx c ⎰=+⎰。

于是,一阶线性非齐次微分方程的通解为 ()()()p x dx p x dx y e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰。

()4二阶常系数线性微分方程形如()y py qy f x '''++=其中p 和q 为常数，这样的方程称为二阶常系数线性微分方程。

如果()0f x ≡，则上述方程称为二阶常系数线性齐次微分方程，否则方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程。

例如 250y y y '''-+=是二阶常系数线性齐次微分方程； 2331y y y x '''--=+是二阶常系数线性非齐次微分方程。

求二阶常系数线性齐次微分方程0y py qy '''++=的通解的步骤为：第一步：写出微分方程的特征方程20r pr q ++=； 第二步：求出特征方程的两个根 1 2r r ；第三步：据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解。

二阶常系数线性非齐次微分方程的通解是对应的齐次方程的通解()y Y x =与非齐次方程本身的一个特解()y y x =*之和：()()y Y x y x =+* 。