t→∞
lim
1 log | x（ t， x（ 0 ） ） | ＜ 0 a． s．，x（ 0 ） ∈Ｒ n t
第1 期
唐占涛等： 随机延迟微分方程 SST 方法的稳定性
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成立， 则称方程（ 1 ） 的解是几乎必然指数稳定性的。 ［22 ］ 珔＞ 0 ， 定义 2 （ 数值解的几乎必然指数稳定性 ） 对方程 （ 1 ） 的数值解 x k 来说， 若存在常数 η 使得对任 n = － m， － m + 1， …， 0 意有界初始随机变量 ξ（ nΔ） ，
k→∞
lim
1 珔a． s． log | x k | ≤ － η kΔ
（ 6）
成立， 则称其为是几乎必然指数稳定的 。 ［18 ］ U（ t） 为两个 F t 相容的递增过程， 引理 1 （ 连续半鞅收敛定理） 令 A（ t） ， 其中 t ≥0 ， 且 A（ 0 ） = U（ 0 ） = 0 a． s．， 令 M（ t） 为实局部鞅且 M（ 0 ） = 0 a． s．， 令 ξ 为一非负 F0 可测随机变量。设 X （ t） 非负， 以及 X （ t） = ζ + A（ t） － U（ t） + M（ t） ，t≥0 若 lim A（ t） ＜ ∞ a． s．， 则对几乎所有 ω∈Ω，
F， P ） 为全概率空间， 同时令（ Ω， 其滤子为｛ F t ｝ t≥0 ， 满足通常条件： 滤子是右连续， 单增的且 F0 包含所有 null 集。B （ t） 为这一概率空间上的一维布朗运动 。 的 P定义 1 （ 几乎必然指数稳定性）
［22 ］
x（ 0 ） ） 如果对方程（ 1 ） 的平凡解 x（ t， （ 5）
b F0
f（ 0 ， 0， t） = g（ 0 ， 0， t） = 0 。同时作为一个全局假设， 给出如下的局部 Lipschtiz 条件。 g 满足如下局部 Lipschitz 条件， 令 f， 即对每个整数 j≥0 ， 均存在一个正常数 c j ， 使得下式成立 珋 珋 珋 珋 珋 珋 | f（ x， y， t） － f（ x ， y ， t） | ∨ | g（ x， y， t） － g（ x ， y ， t ） | ≤c j （ | x － x | + |y －y | ） ，t≥0 （ 2） n 珋 珋 珋 珋 y， x ， y |∨|y|∨|y | ≤j。 其中 x， ∈Ｒ ， 且|x|∨|x 假设 1 假设 2 令 f 满足线性增长条件： | f（ x， y， t ） | 2 ≤K （ | x | 2 + | y | 2 ） 其中 K ＞ 0 为常数。 假设 3 令 f 满足单边 Lipschitz 条件：
Stability of SST method for stochastic delay differential equations
TANG Zhantao， SU Huan， DING Xiaohua
（ School of Science，Harbin Institute of Technology （ Weihai） ，Weihai 264209 ，China）
Abstract： Given little literature on stochastic splitstep theta （ SST） method in stochastic delay differential equations （ SDDEs） ，this study will focus on the numerical stability of SST method for SDDEs． Sufficient condition under which SST method can reproduce the almost sure exponential stability of the exact solutions to stochastic delay differential equations are investigated with given linear growth condition and oneside Lipschitz condition． The numerical experiment confirms the correctness of the obtained theorem． Key words： almost sure exponential stability； stochastic splitstep theta （ SST ） method； stochastic delay differential equations （ SDDEs）
0
引
言
随机微分方程（ SDEs） 及随机延迟微分方程 （ SDDEs ） 的重要性广为人知。 但是由于绝大多数微分方程 ［1 ］ 难以显示求解 ， 故相应的关于 SDEs 及 SDDEs 的数值理论得到大量研究。 考虑到稳定性理论在数值分析 关于这两类方程数值稳定性理论的研究更是广受关注。 现已有大量关于 SDEs 数值解的 理论中的重要性， ［2 － 4 ］ 。对于 SDEs， 2］ Borel如 SDEs 的矩稳定性 文献［ 指出， 在一定条件下， 通过切比雪夫不等式、 研究成果， Cantelli 引理、 矩指数稳定性， 可以推出几乎必然指数稳定性。 具体到 SDDEs 数值理论的研究， 尽管发展迅速， 应用范围不断扩大， 但是由于起步较晚， 相应的理论研 在于解决基本数值方法的收敛性 究结果远没有 SDEs 数值理论的成果丰富。 SDDEs 数值理论研究的初衷，
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黑
龙
江
大
学
自
然
科
学
学
报
第 31 卷
5 － 6］ 7］ 问题。在此方面， 文献［ 研究了单步法的收敛性； 文献［ 研究了 SDDEs 的泰勒展开方法， 并用此方法 建立了多种数值格式， 包括显式欧拉法、 半隐式欧拉法以及 Milstein 方法， 同时研究了相应方法的收敛性与 8］ 9］ 相容性； 文献［ 则对 Milstein 方法进行了更为系统的研究； 文献［ 通过 Halanay 类型不等式研究了 SDDEs 10］ 数值方法的收敛性。对于 SDDEs 数值解的稳定性研究方面， 文献［ 研究了非线性中立型随机微分方程半 11］ 12 － 13］ 隐式 EULEＲ 方法的均方渐近稳定性； 文献［ 研究了 SDDEs 的矩稳定性； 文献［ 针对 SDDEs 构造 了分步向后欧拉法及改进的分步向后欧拉法 ， 并研究了方法的收敛性及均方稳定性 。 14 － 16］ 文献［ 则讨论在非全局 Lipschitz 条件下 SDDEs 数值解法的收敛性问题。 在 20 世纪 90 年代， Mao 发表了将确定性 LaSalle 定理推广到随机情况的一系列优秀论文［17 － 19］， 其以连续情形的半鞅收敛定理 将 LaSalle 定理进行了推广， 而对 SDEs 和 SDDEs 来说， 几乎必然渐近稳定性也可随之得到。 相应 为基础， ［20 ］ 21］ Wu，Mao 及 Szpruch 在文献 的， 通过离散半鞅收敛定理 ， 文献［ 研究了随机差分方程的稳定性。 最近， ［ 22］ Maruyama （ EM ） 方法在线性增长条件下 中通过离散半鞅收敛定理， 对随机延迟微分方程， 证明了 EulerEuler（ BE ） 方法在单边 Lipschitz 条件下的几乎必然指数稳定性。 至 的几乎必然指数稳定性， 以及 Backward此， 对于几乎必然指数稳定性的证明 ， 人们寻找到了一种新的更直接的证明途径 。 但是， 很多问题只靠 EM 法或者 BE 法不能解决， 因此， 发展更一般的能保持 SDDEs 真实解的几乎必然 Ding， Ma 以及 Zhang 在文献［ 23］ 指数稳定性的数值方法是必要的。2010 年， 中引入 SST 方法， 并研究了该 方法应用于 SDEs 时的收敛性问题。此后， 关于 SST 方法的文献结果一直不够丰富， 因此， 本文将 SST 方法 应用于 SDDEs， 研究该方法的稳定性， 在于扩大该方法的应用范围， 并获得 SST 方法保持 SDDEs 真实解几乎 必然指数稳定性的条件。 本文主要针对如下 SDDEs 进行分析： dx（ t） = f（ x（ t） ， x（ t － τ） ， t） dt + g（ x（ t） ， x（ t － τ） ， t） dB （ t） ，t≥0 （ 1） n n n n 0］ ；Ｒ ）， g∈C（ Ｒ × Ｒ × Ｒ + ； Ｒ ） ， B （ t ） 为一维布朗运动。 方便起见， 其初始值为 x0 = ξ∈C （ ［－ τ， 且 f， 令
2 〈x1 － x2 ， f（ x1 ， y， t） － f（ x2 ， y， t） 〉 ≤λ | x1 － x2 |
（ 3）
（ 4）
其中 λ ＞ 0 为常数。 本文将通过 SST 方法对方程（ 1 ） 进行离散， 并证明 SST 数值解的相应稳定性定理。
1
预备知识
本节给出本文所用的符号记法。如未加特别声明， 本文均采用以下符号形式。 T |A| = 令 | · | 表示 Ｒ 中的欧几里得范数。 若 A 为向量或者矩阵， 其转置表示为 A 。 当 A 为 矩 阵，
trace（ A T A） 表示其迹范数。 当 A 为对称阵， 0， 则其最大特征值由 λ max （ A ） 表示。 令 Ｒ + = ［ τ ＞ 0， ∞） ， 槡
n C（ ［－ τ， 0］ ， Ｒ n ） 表示所有从［－ τ， 0］ 到 Ｒ 的连续函数所组成的类， 其范数定义为 ‖ ‖ = sup － τ≤θ≤0 | （ θ） | 。 b 0］ ， Ｒ n ） 表示所有 F0 可测有界的， 0］ ， Ｒ n ） 中取值的所有随机变量 ξ = ｛ ξ （ θ ） ： 令 C F0（ ［－ τ， 且在 C（ ［ － τ， T － τ≤θ≤0 ｝ 构成的类。而 X ， Y∈Ｒ n 二者的内积可以表示成 〈X ， Y〉 或 X Y 两种形式。