4
第二节 一次奇点
由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化 为原点，因而总认为原点是（5.1）的奇点。
在原点邻域内将 X, Y 展为泰劳级数，得：
(5.3) X2，Y2 ----所有二次项
以上的全体.
则此奇点称为一次奇点,反之称为高次奇点。 5
研究以下线性系统
特征方程是
其中
其特征根为
(5.5)
(5.7)
y
若λ2<λ1<0，则积分曲线在原
点与 x 轴相切，如图示。反
x
之，若λ1<λ2<0，则积分曲线 在原点与 y 轴相切。
p16
—— 奇点称为稳定结点
o图5.2 p17
对于q > 0，p < 0，p2－4q>0，λ1、λ2为相 p20 异正实根，积分曲线方向远离原点。
——奇点为不稳定结点
8
(3) q>0，p>0，p2－4q<0，λ1,λ2为共轭复根且实 部为负。
A
向进入奇点O(0, 0). 定义2：设O(0, 0) 为孤立奇点，
r θ0
θ
若点列 An(rn,θn)，当n→∞时，
O
rn→0 ,θn→θ0 ,且αn→0 ，αn为An点的方向场向量
与向径夹角的正切，称θ=θ0为特征方向。
显然，若θ=θ0为固定方向，则必为特征方向
鞍 点： 0，/2, 3 /2， 结 点： 0，/2, 3 /2，
焦 点： 无
退化结点： /2, 3 /2 或 0，
临界结点：任意方向
p7 p8
p9 p10
p11 16
定义3： 轨线L与θ=θ0相交于P ,若P点向径与方向场
夹角为: 0 < αp < ,则为正侧相交； < αp < 2 ,
则为负侧相交。
/2 < αp < 3/2 ,则为正向相交；-/2 < αp < /2,
相应的线
性系统
(A2)
若满足：
(A3)
则原点（零解）若是(A2)的鞍点,正常结点、焦点，
也是(A1)的鞍点,正常结点、焦点（解的结构相同），
且稳定性保持不变；但(A2)的临界或退化结点，对
(A1) 来说其结构可能发生变化。
15
3.1 奇点的性质
定义1：设 L 为轨线, 其上的点 A(r,θ),当
r→0时,θ→θ0 （t→∞ ），称L沿固定方
——奇点为不稳定焦点 1,2
2
9
（4）q>0, p>0, p2-4q=0, λ1λ2为一对负重根。这 又可分为两种情况；
(a) 初等因子是简单。(5.5)可化为： y p16
(5.12)
0

其解为
其轨线形状如图 -----稳定临界结点. 图(5.4)
(b) 初等因子是重的。(5.5) 可化为： p17
令λ1,λ2＝－u +i v，其中u>0, v>0，将(5.5)化为：
(5. 再变换 x =r co1s0θ), y =r sinθ
y
p16
x
o
(5.10)
(5.11)
p17
其解为r= r0 e -ut，θ=θ0+ v t，相应的轨图5线.3 如图 ——奇点为稳定焦点
• q>0, p<0, p2-4q<0:λ1,λ2为共轭复根但实p 部p为2 正4q
11
(5) q>0, p＝0:λ1＝-λ2 ＝vi,为一对共轭纯虚根
将(5.5)化为：
其解为r=r0,θ=θ0+vt, 其 轨线如图
------奇点称为中心
p p2 4q
1,2
2
(5.14)
y x
o
图5.6
12
奇点分类如下： 1. q<0, 两根异号―鞍点; 2. q>0, p>0, p2-4q>0, 两根相异负实根―稳定结点;
(5.6)
(5.8)
6
根据特征根的各种可能情况，对奇点进行分类： (1) q < 0, 此时λ1,λ2异号
通过非奇异线性变换，可将(5.5)化为： p16
其解为
设λ1> 0，λ2< 0, 则其轨线在原点 领域的分布情况如图所示，这 样的奇点为鞍点。
p17
(5.9)
y
o
x
p30
图5.1
7
λ 1， λ 2 为 相异负实根
3. q>0,p>0,p2-4q=0, 两根为相等负实根―临界结点或 退化结点。
4. q>0,p<0,p2-4q>0, 两根为相异正实根―不稳定结点; 5. q>0,p<0,p2-4q=0, 两根为相等正实根―临界结点或
退化结点; 6. q>0,p<0,p2-4q0, 两根为共轭复根，实部为负―稳
定焦点; 7. q>0,p<0,p2-4q<0, 两根为共轭复根，实部为正―不
则为负向相交。 ①正侧正向
②
②正侧负向 ①
③
③负侧负向
④负侧正向 O ④
17
定义城4，：称O为为正奇常点区，域扇，形域O AB O上 A满B由足O：A, AB与弧AB围
1. 除点O外没有其他奇点, OA, AB为无切线段; 2. 任意点的向径与方向场向量不垂直； 3. 最多包含一个特征方向, 但OA, AB不是特征方向.
(5.13)
p p2 4q
1,2
2
10
或 y y0 ln( x )
x x0 1 x0
当
当
• 所有轨线在原
y
点均与轴相切，
x
如图所示。
o
—稳定退化结点
图5.5
y x
o
p17
q >0, p<0, p2－4q=0:λ1,λ2 —— 一对正重根 不稳定临界结点和退化结点
第三篇 定性理论
1
内容
第一章 奇点 第二章 相平面法 第三章 极限环
2
第五章 奇 点
第一节 常点与奇点 第二节 一次奇点 第三节 非线性项对奇点的影响
3
第一节 常点与奇点
研究二维方程组
(5.1)
点P(x0,y0）称为(5.1)的奇点，若: (5.2)
反之,如 X(x0,y0), Y(x0,y0) 中至少有一个不等于零， 则此点称为(5.1)的常点。 性质:过常点有唯一解，但奇点处解至少不唯一
结论： 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向：
即： 0 ‾ 或 ‾ 2 。因此有三类正常区域：
I
A II
A III
A
O
O
O
B
B
B
18
结论： 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向：
即： 0 ‾ 或 ‾ 2 。因此有三类正常区域：
稳定焦点。 8. q>0,p＝0, 两根为共轭纯虚根―中心.
13
q
源
中心 汇 pp22－ 44qq=00
不稳定临界结 点或退化结点
不稳定 焦点
不稳定结点 o
高次奇点
稳定 焦点
稳定临界结 点或退化结 点
稳定结点 p
高次奇点
鞍点
图5.7
14
第三节 非线性项对奇点的影响
研究以下非线性系统
(A1) X2，Y2 ----所有高 于二次项的全体.