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Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ａ ｕ ｒｃ ｍｅｈ ｄ ｏ ａ ｋ ｒ ｈ ａ ｃ ｎ ｕ ｔｏ ｑ ａｉｎ ｗａ ｉｃ ｓｅ ． Ｔ ｅ ｄ ａ ｆ ｃ ｎｒ ｌ ｎ ｍｅ ｉａ ｌ ｔ ｏ ｆ ａ ｂ ｃ ｗａ ｄ ｅ ｔ ｏ ｄ ｃｉｎ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｈ ｉ ｅ ｏ ｅ ｔａ ｄｆｅ ｅ ｃ ｓｂ ｓ ｄ ｏ ｈｅｏ ｇｎ ｌｐ ｏ ｌｍ ｆｔ ｅ ｓ ａ ｅ ｄ ｓ ｒ ｔ ｇ ｏ ｌ ｉ ｒ ｎ ｅ ｗａ ａ ｅ ｎ ｔ ｒ ｉ ａ ｒ ｂ ｅ ｏ ｈ ｐ ｃ ｉｃ ｅｉ ｎ ｙ－ａ ｄ ｃ ｎ ｅ ｔｄ ｉｔ ｎ ｉ — ｏ ｅ ｒ ｉ ａ ｆ ｉ ｎ ｎ ｏ ｖ ｒｅ ｎｏ ａ ｌ ｐ ｓ ｄ ｏ ｄ ｎ － ｌ
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第１ 期
葛美宝 ， ： 等 一类热传导方程逆时反问题 的数值解法
６ １
：
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（） ７
ｉ
（） ０
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（ 肼 ）
这是一个带有初始条件的非线性常微分方程组 ， 对式（ ） 式（ ） ６ ７ 的求解在数值计算上有很多方法， 如欧拉
（） １
｛（ ， ｕ ０ｔ ）＝ｓｔ，（ ， （）“ ｂ ）＝ｆｔ， （）ｔ ０＜ｔ ； ＜
ｔ （ ， ）＝ （ ， ＜ ＜ｂ Ｔ为某 固定 时刻． ｕ ｘ Ｔ ）口 ，
Ｄ为热传导系数 ，（） ｑｘ 为源项系数．
１ 中心差分方法
本文利用文献 ［ ］ ４ 中的中心 差分方 法求解反问题 （ （ ）． 式 ２ ）利用 中心 差分代替 Ｈ 得到方程如下 ： ，
逆 时反演 的拟解法 ， 给出 了正问题解 的稳定性估 计 本文 利用文 献 ［ ］ 并 ４ 的中心差 分算法 求解 了一类含 源 项 ｑｘ ｕｘｔ的逆 时反问题 的数值解法 ， （ ） （ ，） 数值结果表 明了中心差分方法 的有效性 和可行性 ． 为了叙 述简单 起见 ， 本文仅 以一维区域为例． 本文的方法可推广至更 加广泛 的反应扩 散方程 ¨。考虑有 界 区间上 的反 问 。， 题， 对二维情形 同样适 用．
热传导方程逆时反问题（ Ｈ Ｐ ： Ｑ ＝［ ，］ ［ ，］求初始分布函数 Ｂ Ｃ ）设 ａ ｂ Ｘ ０Ｔ ，
（ ） ｕ ｘ ｔ）０≤ ｔ （ ， ， ｏ ０＜ 式 （ ） ｕ ｘ ｔ 是下面问题的解 ： １ 中： （ ，）
ｒ ｔ ：Ｄｕ ，）＋ｑ ｘ ｕ ｘ ｔ ， ， “（ ） ， （ ｔ （ ） （ ，） （ ｔ ）∈ Ｑ ； ｒ （） ２
文 章 编号 ：０ １ ０ １ ２ １ ）１ ０ ９０ １０ － ５ （０ １Ｏ － ５ －５ ５ ０
一
类 热传导 方程逆 时反 问题 的数值 解 法
葛美宝 ， 徐定华
（． １浙江理工大学 科技与艺术学院， 浙江 杭 州 ３ １２ ；． １１１２ 浙江理工大学 理学院， 浙江 杭州 ３Ｏ １） １Ｏ８
ｓｌ ｔＯ ｏｕ ｉｎ
Ｋｅ ｒ ｓ ｈ ａ ｏ ｄ ｃｉｎ ｅ ｕ ｔ ｎ；ｉｖ ｒｅ ｐ ｂ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｅ ｔｃ ｎ ｕ ｔ ｑ ａｉ ｏ ｏ ｎ ｅ ｓ ｒ ｌ ｍ；ｃ ｎ ｒ ｌ ｉ ｅ ｎ ｅ；ｎ ｍｅ ｃ ｔ ｏ ｏ ｅｔ ｆ ｒ ｃ ａ ｄ ｅ ｕ ｒ ａ ｍｅｈ ｉ ｌ ｄ
第３ ４卷第 １ 期 ２ １ 年 ２月 ０１
浙江师范大学学报 （ 自然科学版 ）
、
Ｊｕ ａ ｏ ｈｊ ｎ ｏｍ ｌ ｎ ｅｓｙ Ｎ ｔ ｃ ｏｒ ｌ ｆ ｅａｇＮ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｔ（ ａ ｎ ｚ ｉ ｖ ｉ ．ｓｉ ．
Ｖｏ．３ ，Ｎ ． １ １ ４ ｏ Ｆｂ ０ １ ｅ ．２ ｌ
，
ｕ ｉ ， ｉ （） （ｈ Ｔ— ）＝ ．
２ 数值 模 拟
在这一部分中， 笔者将运用中心差分法求解具体的实例， 然后通过 Ｍ ｔｂ川上机进行数值模拟 ， ａ ａ ｌ 从而
摘 要： 讨论一类热传导方程逆时反问题（ Ｈ Ｐ 的数值解法． Ｂｃ） 中心差分法的思想是基 于对 原问题只进行空间
离散 ， 转化为一个不适定 的常微分方程组的初值问题 ， 利用 变量 变换 把该 问题转化 为一个适定 的常微分方 然后
程组的初值 问题 ， 最后利用 Ｒ ｎｅ ｕａ ｕｇ． ｔ 方法进行数值求解． Ｋｔ 数值结果说 明了数值解与精确解吻合 良 ． 好
０ 引
言
大量热传导方程 的逆 时反 问题 （ Ｈ Ｐ 以不 同的形 式 出现在 热传导 、 ＢＣ） 流体 学 、 材料 学及 工程科 学 的实 际应用 中． 热传 导方程反 问题有 着重要 的应用价 值 ， 但也 存在严重 的不适 定性 ， 种不适定 性表 现在解有 这
可能不存在， 即使存在也可能不稳定， 即测量数据的微小变化将引起解的急剧变化， 从而导致数值处理的
Ｒｕ ｇ — ｔａ ｍｅｈ ．Ｔ ｅ Ｎｕ ｒｃ ｌｒｓ ｌｓ ｓ ｏ ｄ ｔ ａ ｈ ｕ ｒｃ ｏ ｕ ｉｎ ｗｅ ｅ ｃ ｎ ｉｔｎ ｔ ｈ ｘ ｃ ｎ ｅ Ｋｕ ｔ ｔｏ ｄ ｈ ｍｅ ａ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗｅ ｈ ｔｔ ｅ ｎ ｍｅ ａ ｓ ｌ ｔｏ ｒ ｏ ｓｓｅ ｅ ｗ ｈ ｔ ｅ ｅ ａ ｔ ｉ ｉ ｌ ｉ
取 ＝≥时 阵 的征 全为 ， 献 ］ ， 龙 库方对 （、１ 行解 吾 ， 特值 部负 文 ［ 知 用格 塔法式 ） （进 求 矩 由 ４ 利 可 ９ ０ 式）
是稳定的． 根据式 （ ） 式 （０ 得 到 （） 再 由 （ ） ｄ 便 可得 到 （ ） 从 而 阳（ｈ ） ９ 、 １） ， ＝ｅ （ ） ； ｉ，
浙江师范大学学报（ 自然科学版 ）
２１ 矩 ０１
极端困难． 因此 ， 这类反问题的研究吸引了国内外众多学者的关注， 同时得到了一些好的正则化方法和误 差估计¨ 如：ａｅ 和 Ｌｏ［ ， 柚 ｅ［及 Ａ ｅ 等 利用拟逆法求解 Ｂ Ｃ 驯． Ｌｔｒ ｉ １ ｓ ｔ ｎ］ ｈ ｔ ２ ｒ ｍ ｓ Ｈ Ｐ的数值解； 熊向团等［ 利 ４ １
收 文 日期 ：００ ９ ５ 修 订 日期 ： １－９１ ２ １－ － ； ００ ２ ００ ・９ ０
基金项 目： 自 国家 然科学基金资助项 目（ Ｓ Ｃ ０６ ０ １Ｎ Ｆ １ ７ ２ １ ； Ｎ Ｆ １５ １ ； Ｓ Ｃ １ １ ）浙江理工大学科研基 金资助项 目（６ ３６ ） 浙江理工大学 ０ ０ ２ ０ １２３ ； 科技与艺术学院 ２０ 年大学数学教学团队项 目（ ｙ ｔ ８ １ ； ０８ ｋｊ ｄ ０ ） 浙江理工大学科研项 目（ １Ｋ ０９ ｘ０ ０ ２ ０ Ｙ０ ） 作者简介 ： 葛美宝（９ １一） 男 ， １８ ， 江西南昌人 ， 讲师 ， 硕士． 研究方 向： 数学物理方程反问胚 ； 大学数学教学．
关键词 ： 热传导方程 ； 反问题 ； 中心差分法 ； 数值解法
中 图分 类 号 ： ７ ．２ Ｏ１５ ６ 文献 标 识码 ： Ａ
Ａ ｕ ｅ ｉａ ｅ ｈ ｄ ｆ ｒ ｓ ｌ ｉ ｇ ａ ｂ ｃ ｗａ ｄ ｈ ａ ｏ ｄｕ ｔｏ ｑ ａ ｉ ｎ ｎ ｍ ｒｃ ｌｍ ｔ ｏ ｏ ｏ ｖ ｎ ａ ｋ ｒ ｅ ｔ ｃ ｎ ｃ ｉ ｎ ｅ ｕ ｔｏ
用 中心差分法 和拟逆法求解 了一类不含源项 的热传 导方程 反 问题 的数值解 ， 出 了解 的稳定性估 计 ；ｅ－ 得 Ｄｎ
ｉｖ ｓ 讨论了在三维空间中含有 自 ｏ 伴椭圆算子抛物型方程的反问题 ， 通过拟解法进行数值模拟 ， 同时给出 了正 问题解 的稳定性估计和拟解 的存在性 结果 ； 葛美宝 等ｌ讨 论 了一类 含源项ｐ ￡ｕｘｔ的抛 物型方 程 ９ （） （ ， ）
ＧＥ Ｍｅｂ ｏ ｉａ － ＸＵ ｎ ｈ ａ Ｄｉ ｇ Ｈ （ ．Ｓｈｏ ｏｃｉ ｃ ｎ ｒ． ｈ ｉｎ １ ｃｏｌｆＳ ｅ ｅ ｄＡｔ Ｚ ｅａ ｇ＆ Ｔｃ ｎ￣ｒｔｔ ａｇｈｕ撕 ｎ ａ ｊ —ｅｈＵ ｉ ｓｙ ｎｚｏ ｉ Ｈ
ｓｙ Ｈ ｎｚｏ ｈ ｉｎ ３０ １ －Ｃ ／ａ ｉ 。 ａｇｈｕＺ ｅａ￣ １０８ ｈｎ ） ｔ ｊ
根据二阶中心差分 ， 在 处用差商代替微分 Ｗ ， 则式（ ） ４ 变形为
ｘ， ｉ ）＝一 ｔ ２ ） （ ） ］－ｇ （ （） ５
式（） ： ＝ ５ 中 ０＋（ ） ，＝１２… ， ＋Ｉ ：（ ａ ／ ｗ ： （）＝ｔ （ 一 ） ， ． 由方程式 （ ） 一１ｈｉ ，， Ｍ ； ６一 ）Ｍ； ｔ ￡ １ ｈ 则 Ｊ （ ） ３ 中
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