论文题目:带电粒子在电磁场中的运动专业:物理学本科生:边鲜叶签名指导教师:贾祥富签名摘要：从带电粒子在电磁场中的运动的经典哈密顿量出发推导出了带电粒子在恒定电磁场中的薛定谔方程，并讨论了带电粒子在恒定均匀磁场中的运动，以及在恒定电磁场中的原子能级和光谱的变化关键词：带电粒子；电磁场；能级；光谱Title: A Study of Charged Particles in Electric and Magnetic Field Major:PhysicsName:Bian Xianye Signature Supervisor:Jia Xiangfu Signature Abstract starting from the classicle Hamilton whose charged particles moved in the electric and magnetic field,infer the dingershro equation which charged particles in the electric and magnetic field.Analyzed the charged particles’motion in the constant megnetic field,as well as the changes of the energy level and spectrum in the constant electric ang magnetic field.Key words:charged particles electric and magnetic field energy level spectrum目录引言一、粒子在电磁场中的运动方程1、无自旋粒子运动的哈密顿算符2、几率流密度3、规范变换及规范不变性4、朗道能级5、带电粒子在电磁场中运动计入自旋和相对论性修正后的哈密顿算二、原子在恒定均匀磁场中的运动１、体系的哈密顿算符２、强磁场情况：正常的塞曼效应３、弱磁场情况：反常塞曼效应４、氢原子及类氢离子在外恒定均匀强磁场中运动方程的柱面三、电场中的原子1、氢原子及类氢离子在外恒定均匀电场中能级的线性斯塔克分裂。

2、氢原子在外恒定均匀强电场中运动方程的抛物线坐标式3、振荡电场中的原子结论引言带电粒子在均匀电磁场中的运动时一个重要的研究课题，其应用也十分广泛，对科学技术的许多领域有非常重大的意义，例如，大气磁场对环境影响的研究、对等离子体性质的研究、电子器件如磁控管示波器、质谱仪、电子显像管的研究和制造都有极其重要的意义.而以前的大多数文献中，对带电粒子在电磁场中的运动都是从洛伦兹力出发对其特殊情况进行分析的，并没有分析带电粒子在电磁场运动的薛定谔方程，更没有研究其能级和光谱的变化。

本文从带电粒子在电磁场运动的经典哈密顿量出发推出其薛定谔方程，具体讨论了氢原子及类氢原子在电场及磁场中的运动方程的柱面坐标系式和其在外恒定均匀强磁场中的运动方程的抛物线坐标式。

一、 粒子在电磁场中的运动方程 1、 无自旋粒子运动的哈密顿算符假设质量为，带电量为q 的粒子在电磁场中运动，其哈密顿量为()μμφμφμ2ˆ2ˆˆ21ˆ2222A q A p q q p q A q p H+⋅-+=+-= 利用电磁场的横波条件0=∇A ，即有[]0,=p A所以有 ,0ˆˆ=⋅-⋅p A A p进而有 μμφμ2ˆ2ˆˆ222A q p A q q p +⋅-+=H 又 ∇-= i p ˆ 所以 ()()μμφμ2,,2ˆ2222t r A q A i q t r q +∇⋅-+∇-=H … ()1 式中 ∇-= i pˆ 是粒子的动能项 ()t r q ,φ 是粒子的静电势能函数项∇⋅-A i q μ表粒子“轨道”运动与外磁场的耦合作用项 ()μ2,22t r A q 是逆磁项 综上，带电粒子在电磁场中运动的薛定谔方程可写为：()()()t r q A q p t r t i ,ˆ21,2 ψφμψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∂∂ …()22、几率流密度对应上面的薛定谔方程，可将粒子的速度算符由 μp v ˆˆ = 对应改为μAq p v-=ˆˆ 所以几率密度j即可表示为()()()ψψμψψψψμψμψ***2,ˆ,*Re A q i t r A q p t r j-∇-∇-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-= …()3 而粒子在势场 ()t r q ,φ 中运动时，其几率密度表达式为()**2ψψψψμ∇-∇-=i j …()4 两式比较显然()3 式多出一项 2ψμAq - ，而这项则是由电磁场矢势 ()t r A ,引起的，由及其重要的作用。

3、规范变换及规范不变性电磁场的矢势()t r A , 和标势 ()t r ,φ 都是实函数，它们与电场强度E 和磁感应强度B之间的关系是)()()()()t r A t r B t r A tt r t r E ,,,,,⨯∇=∂∂--∇=φ ()()6...5...电磁场具有规范不变性，即当 作下列规范变换时 ()()t r tt r A A A ,,χφφφχ∂∂-='→∇+='→ ()()8...7... （式中()t r ,χ 是任一标量实函数）电场强度E 和磁场强度B都不变， 这称为电磁场具有规范不变性。

所以，可以选不同的失势()t r A , 和不同的标势()t r ,φ 来描述同一电磁场，由此可知，电场强度E 是表征一个电磁场的物理量，而失势()t r A , 和标势()t r ,φ 只描述电磁场的数学量，但当同一电磁场选的失势()t r A , 和标势()t r ,φ不同时，由（1）式可看出体系的哈密顿算符Hˆ 表示式不同，进而可知（2）也可能不同，若对体系的波函数 ()t r ,ψ作幺正变换，即为()()()()t r e t r t r t r q i,,,,ψψψχ='→ (9)则体系的薛定谔方程（2）在（7）、（8）、（9）式的变换后形式也不变，即为()()()t r q A q p t r t i ,2ˆ,2 ψφμψ'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+'-='∂∂ …（10） 这表明()t r ,ψ' 也是带电粒子在同一电场中运动状态的波函数，但是，若失势0=A 变换为0≠A ，则由（7）式可得()t r A ,χ∇= ，即可知式（9）的位相因子()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎰dl t r A q i e t r q i ,exp ,χ (11)对于闭合回路C ，（11）式中的⎰⎰⎰⋅=⋅scds B dl A是磁通量，式是 的一个规范不变量，因为 恒为04、朗道能级讨论带电粒子在恒定均匀磁场中运动，设磁场方向沿Z 轴，失势取为12A B r =⨯则(),,0,0B B = ⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,21Bx By A可见满足B A =⨯∇ 和0=⋅∇A，所以该带电粒子的哈密顿算符Hˆ 具体可写()()22222228ˆ2ˆˆˆ21ˆy x B q L qB p p p Z z y x ++-++=H μμμ 为了方便，以下把带电粒子沿Z 轴方向的自由运动分离出去，集中讨论电子在x-y 平面中的运动。

在x-y 平面内，体系的能谱是分立的：μρρ212B q m q q m n E m n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+= 即 021ω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n E n ，而 ...2,1,021,0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==m q q m n n B q ρμω …（13） 这即称为朗道能级，其相应的二维运动定态波函数为()()ϕρρρϕρψim m n m n e NR =, (14)（14）式中的()ρρm n R 即为二维各向同性谐振子定态的径向函数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∝2,22,14exp ρρρρρρ B q m n F B q R mm n (15)F 为合流超几何函数， ρn 为径向波函数的节点数（∝=,0ρ 点除外），ϕim e 则描述的是带电粒子绕磁场方向（Z ）轴转动的行波。

当()0,0,y B A -=时，也满足 B A =⨯∇（沿Z 轴）及0=⋅∇A 的条件，此时带电粒子在电磁场中运动的哈密顿算符即为()μμμμμ2ˆˆ2ˆ22ˆ2ˆˆ22022202222z y x p yB q y y B q p p +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--++=H …（16） 而qBpyx ˆˆ0-= 所以在垂直于磁场方向的x-y 平面内，体系的能谱仍为 ,,2100μωωB q n E n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+= n=0,1,2…相应的能量本证函数为()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x p i y y B q y y B q N y x x n np x exp 2exp ,0210ψ 它描述了带电粒子在y 轴上作简谐振动，而在x 轴方向是自由运动处于平面波状态。

由此可见，它依赖于n 与 又 ，所以 决定 而 任一实值，但 不由 决定。

所以在均匀磁场中运动的带电粒子可出现在无穷远处 ，但其能级是离散的。

5、带电粒子在电磁场中运动计入自旋和相对论性修正后的哈密顿算符为：()[]()φμφμμμμφμq cp p q s c A q B s q p A q q p 2234222228ˆˆˆ212ˆˆ2ˆˆ∇-⨯∇⋅++⋅-⋅-+=H (17)二、原子在恒定均匀磁场中的运动原子在磁场中定态能量对磁量子数的简并解除，能级进一步分裂，引起光谱线也进一步分裂，分裂的情况因磁场的很强或很弱而不同。

1、体系的哈密顿算符下面讨论的是在恒定均匀的磁场中的氢原子和类氢原子，取磁场方向沿Z 轴方向，即()B B .0,0= ，相应的失势A可取为r B A ⨯=21 ，则0,21,21==-=z y x A Bx A By A ， 由式（17）可知，带电量为-e 的电子，有rZe q 024πεφ-=，它的哈密顿算符为()()r c Ze c p L s rc Ze y x B e s L eB r Ze p z z δμπεπμμπεμμπεμ22022234322022222022248ˆˆ1248ˆ2ˆ242ˆˆ+-⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=H (18)2、强磁场情况：正常的塞曼效应当磁场强度很大即磁场足够强时，磁场将分别与电子的轨道磁矩和自旋磁矩耦合，因为（18）式中电子的自旋-轨道耦合等最后三项与式中第三、四项相比可略去，实验室中磁场强度B B Gs B <<∴<25,10 ，因此 ()22228y x B e +μ也可略去，所以，体系的哈密顿算符为：⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=H z z s L eB r Ze p ˆ2ˆ242ˆˆ022 μπεμ (19)其本征值为 ()s B n nm s m m B E E 20++=μ ...3,2,1=n ， 1,...2,1,0-=n l ，,,...1,0l m ±±= 21±=s m 上式中， 0n E 是氢原子及类氢离子的波尔-薛定谔能量， B μ是波尔磁子，上式表明原子在足够强的外磁场中能级0n E 分裂，对角量子数l 的简并保留，但是对磁量子数m 和 s m 的简并解除。