2 1 2 m0 A0 E P kx sin 2 (0 t ) 2 2 可知经典谐振子的能量取值是连续的； 1 而由式 2
可知量子谐振子的取值不是连续的，是分立的，即是量 子化的，其中n为量子数。而且量子谐振子的能级是等间 距的，间距是。能量取分立值是由于微观粒子具有波粒 二象性这一量子特征。
1.4受驱阻尼振子
受驱阻尼振子满足方程:
d 2x dx m 2 r kx F0 cos(t ) dt dt
其一般解为两个解的和，一个为暂态解,与初始条件相 F0 关；另一个为稳态解为： x(t ) sin(t ) Z m 总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率,但 振动与驱动力在相位上有偏移，且振幅大小与驱动频率 相关；当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时， 振幅达到最大。
dx A0 0 cos( 0 t ) dt 2 x 利用 cos 1 sin ，且已知： sin(0 t ) A0 v A0 0 1 sin 2 ( 0 t ）经典振子Fra bibliotek速度v为： v
A0 0 1
x A0
其中 A0为振幅，平衡点为原点。当 x 0时，由上式知， 此时经典振子的速度v有最大值 v A00，即经典振子在 X=0处逗留时间最短，出现的几率最小。
p2 1 H m 2 x 2 2m 2
用幂级数方法在座标基底下解定态薛定谔方程： H
E
1 得到的谐振子的能级为： En ( n ) 2
n 0,1, 2,3,
引入厄米多项式，我们最后得到谐振子对应于能量本征值的能量本 征函数为： 1 2 1 2 2
n ( ) Nne
令
，上式可变为： d 2x 2 0 x 0 dt 2 其解具有下列形式： x A0 sin(0t ) 它表示一个正弦运动，其振幅为，相位为，角频率为，相
0
2
k m
应的频率是：
0 1 k f 2 m 2
只与质点的质量m和恢复力常数k有关，而振幅和相位都与 运动初始条件有关。振子的总能量：
W0 ( x) 0 ( x)
2 2

e
看出经典与量子的两处不同： a.容易看出其在x=0处 ，概率拥有最大值： ；而经 典谐振子中，由于在x=0处的速度最大，所以其出现几率 最小。
1 时，经典回转点 1 ， b.当经典谐振子的能量为 2 1
经典振子只能处于 x 的区域中。应该在 x 1 处，势 1 2 1 k 1 能 V ( x) 2 kx 2 2 2 ，即等于总能量。在这点速度减慢 为零，不能再继续往外跑。而按照量子力学计算，粒子在 1 x 的区域，仍有不为零的几率。
f 2
1.6经典谐振子的计算
一质量为m的质点沿ox轴运动，它所受到的回复力可从势 1 2 函数的微商得到。势函数为：
U x
dv 力的表达式为：F x kx i dx
2
kx
i是沿ox轴的单位矢量。运动方程可以写成：
d 2x m 2 kx dt
经典力学和量子力学中的谐振子
学生姓名： 辛** 指导教师： 陈**
1.经典力学中的谐振子
• • • • • • 1.1简谐振子 1.2受驱谐振子 1.3阻尼谐振子 1.4受驱阻尼振子 1.5完整数学描述 1.6经典谐振子的计算
1.1简谐振子
简谐振子不受驱动力和摩擦力，其合力为： F kx 由牛顿第二定律，且加速度等于x对t的二次微分导数， 得： d 2x m 2 kx dt
1 2 4
1 2 zn z exp( z ) n 2 n! n 0
2.3.2相干态的性质
3.经典谐振子与 量子谐振子的区别
• 3.1能级 3.1.1能量取值点 3.1.2零点能 • 3.2波函数
3.1能级
3.1.1能量取值点
由式
2 m dx 2 m 0 A0 Ee ( ) cos2 ( 0 t ) 2 dt 2 2
1.5完整数学描述
多数谐振子，基本上满足以下的微分方程： d 2 x b dx 2 0 x A0 cos(t ) dt 2 m dt
其中t是时间，b是阻尼常数，是本征角频率，而代表驱 动系统的某种事物，其振幅为A0 ，角频率为ω ，x是进行 振荡的被测量量，可以是位置、电流或其他任何可能的 物理量。角频率与频率f有关，关系式为：
2.量子力学中的谐振子
• 2.1一维谐振子 2.1.1哈密顿算符与能量本征态 2.1.2阶梯算符方法 2.1.3自然长度与自然能量 • 2.2三维谐振子 • 2.3谐振子的相干态 2.3.1降算符的本征态 2.3.2相干态的性质
2.1一维谐振子
2.1.1哈密顿算符和能量本征态
一维谐振子的哈密顿量为：
,
2 2 n 2 它与无限势阱总粒子的基态能量（En 2m a2
E0 被称为零点能。
n=1,2,3……. ）
不为零是很相似的，这是一种量子效应,也是由于微观粒子具有波 粒二象性。
3.2波函数
在量子力学中波函数 (x) 本身无意义，但波函数的绝对 2 值平方 (x ) 与粒子在空间某点出现的几率成正比。 其相应的几率密度为： x 2
E E0 EP
动能和势能的表达式为：
由上两式可知：当 0t 0 时，势能有最小值0，而此 时动能具有最大值 1 m 2 A 2 ； 0 0 2 1 2 0t m 0 A02 ， 而当 2 时，势能具有最大值 2 而此时动能值最小为0。 显然总能量在运动中是不变的，即
1 E n ( n ) 2
2.1.3自然长度与自然能量
量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度，可以用来简 为单位来测量 化问题。这可以透过无量纲化来实现。如果我们以 能量，以及 为单位来测量距离，则薛定谔方程变成：
m
1 d2 1 2 H u 2 2 du 2 且能量本征态与本征值变成：
做一维运动的粒子，坐标与动量的差方平均值满足下列不确定关系： 1 (x) 2 (p ) 2 2 4 对于线谐振子而言，在粒子数表象中，基态 0 下的不确定关系为：
(x) 2 (p ) 2
ˆ ˆ 而 0 是降算符 A _的本征态，相应的本征值为0，即 A _ 0 0
于是，可以推测降算符的本征态为最小不确定态，即相干态。 经计算，得到的降算符的本征态为：
p i
ˆ ˆ (a † a) 2m m ˆ ˆ (a † a ) 2
ˆ ˆ ˆ 由x、p正则对易关系，并引进厄米算符 N a† a ， 证明等式： H (a † a 1 2) ˆ ˆ
a, a † 1 ˆ ˆ
表示 n 态的能量本征值为：
1 ˆ H n ( n ) n 得： 2
2 m0 A0 1 2 E Ee E p kA0 2 2 2
2 m dx 2 m 0 A0 Ee ( ) cos2 ( 0 t ) 2 dt 2 2 2 1 2 m0 A0 E P kx sin 2 (0 t ) 2 2 2
进一步，对于经典振子： x A0 sin(0t )
k d 2x 2 2 若定义 0 ，则方程可以写为： 0 x 0 2 m dt
其一般解为：
x A cos(0t )
1.2受驱谐振子
一受驱谐振子满足如下非齐次二阶线性微分方程：
其中A0是驱动振幅，ω是驱动频率，针对的是一弦波式 的驱动机制。这样的系统出现在交流LC（电感L-电容C） 电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部 的空气阻力）。
d x 2 0 x A0 cos(t ) 2 dt
2
1.3阻尼谐振子
阻尼谐振子满足如下二阶微分方程：
其中b是阻尼常数，满足关系式 F bv 。满足此方 程的一个例子为置于水中的加权弹簧，假设水所施的阻 尼力与速度v呈线性比例关系。
d 2 x b dx 2 0 x 0 2 dt m dt
E n ( n ) 2
3.1.2零点能
2 m dx 2 m 0 A0 cos2 ( 0 t ) 由式 Ee ( ) 2 dt 2 2
可知当 cos(wt 0 ) 0 时，经典谐振子的最低动能为零；
1 E n ( n ) 而由式 2
1 E 0 可知，量子谐振子在基态的能量不为零。即当n=0时， 2

致 谢
2
H n ( ) Nne
a x 2
H n (ax)
2.1.2阶梯算符方法 ˆ ˆ a 首先，我们定义算符 a 与其伴随算符 a† ：ˆ
ˆ a†
m i (x P) 2 m m i (x P) 2 m
利用可观测量算符x、p可以被表 x 示为阶梯算符的线性组合：
引进无量纲参数 ax, ay, az, a m 整理得体系的能量本 征值： 1 E 2 1 (x y z ) 2 3 其基态能量： E0 3 (nx n y nz ) 2 2
2.3谐振子的相干态
2.3.1降算符的本征态
x n 1 2n n !
1 4 exp(u 2 2) H n (u )
En n
1 2
2.2三维谐振子
三位谐振子的能量本征值方程为：
2 2m 1 E m 2 ( x 2 y 2 z 2 ) 0 2 2
1 2
2 2 2 2 其中 V ( x, y, z ) m ( x y z ) 为谐振子的势。