D和E的矩阵方程为：
Dx Dy
0
0
E
y
Dz 0 0 z Ez
电能密度表达式可以表示为：
e
1 2
0
x Ex2 y Ey2 z Ez2
其中，εx，εy，εz称为主节电常数。
三主折射率为：
nx2 x ny2 y nz2 z
§7.2 单色平面波在晶体中的 传播 一、相速度和光线速度 1、晶体中光波的结构 （1）单色平面波的复数形式：
（3）正交，单斜和三斜晶系的特点
属于双轴晶体，三个主介电常数不相 同，波法线椭球是一般椭球。
3、光轴
所谓光轴是指这样的方向，当过椭 球中心而和该方向垂直的平面与波 法线椭球相截时，所截得的交线是 一个圆，当光波在晶体中沿着这个 特殊方向传播时不发生双折射。
单轴有一个光轴方向，双轴两个， 各向同性有无数个光轴方向。
也可以用矩阵来表示
Dx Dy
0
xx yx
xy yy
xz yz
Ex Ey
Dz zx zy zz Ez
二、介电张量的对称型 1、推导：
2、对称张量 由上面的推导，可得：
即对称张量 ：能量守恒定律要求介 电张量对称，九个分量中只有六个 独立，即
主轴坐标系 考虑 xyz 空间中的一个二次曲面
no2 no2
n2 Ex 0
n2 cos2 Ey
no2 sin
cos Ez
0
no2 sin cos Ey ne2 n2 sin2 Ez 0
对于o光，D矢量平行于E矢量，两者 同时垂直于yz平面，即波法线与光轴 组成的平面
（2）非寻常光波得偏振方向
把n=n″带入（7-49）式
方程意义
这是一个平方的二次 方程，因此表示的是 双壳曲面。矢径直接 表征了波法线的方向 和相应的折射率 ，双 壳曲面则直观地给出 相应于给定波法线方 向的两 个折射率。
2、立方晶系 折射率方程为：
显然，这个折射率曲面是一个半径为 no的球面
在所有的方向k0上，折射率都等于no， 为各向同性
3、单轴晶体 折射率方程为：
二、光在晶体界面上的全反射
1、全反射：是指入射光能量 全部反射回入射侧而不能进 入折射一侧。右图所示是一 块方解石棱镜，光轴与棱镜 表面垂直。当一束自然光正 入射到此棱镜时，在棱镜斜 面上将发生双反射现象。
张量的基础知识 一阶张量(矢量)：如果一个物理量由三
个数表示，而且在坐标移动时如同 坐标一样 变换，则此物理量称为矢 量… 二阶张量(tensor)：如果一个物理量由 九个数表示，而且变换关系为
则称此量为二阶张量。
3、晶体的介电张量
物质方程组和介质的性质有紧密的 联系。物质方程组中的电导率、介 电常数、磁导率都反映了介质的性 质，对不同介质，有不同的σ,ε,μ。
（2）波法线方向：指等相面的法线方 向，它与等相面或波阵面相垂直。
（3）把复数形式带入麦氏方程 说明：
（4）光波结构 H垂直于D，E，k0，s0， 并且D，E，k0，s0共面；
K垂直于D，s垂直于E；
<k,s>=<D,E>
一般来说，晶体中s0和k0方向不同，即光 波能量传播方向和等相位面传播方向不 同。这是晶体光学中的一个重要结论。
2、光线菲涅耳公式 对光线来讲，也有相应的光线菲涅
耳公式，光线菲涅耳公式是将光线 折射率 (或光线速度)与光线方向联 系起来 的关系式。 对偶性规则
光线的菲涅耳方程
§7.3 单轴晶体和双轴晶体的 光学性质
一、晶体的光学分类
1、晶体的光学分类
（1）晶体分类依据：按照晶体学中的 几何结构分类，也可按照其光学性 质分类；
光轴不是某一条特殊直线，而是一 个方向。
二、光在各向同性介质中 的传播 1、波法线的菲涅耳方程
因为： 所以： n2 n02 0 n n n0 沿任意方向传播的光波折射率都等
于主折射率n0，或者说，光波折射率 与传播方向无关。
2、光波电场结构 推导
结论 E与k0垂直，E平行于D，s0平行于 k0。在各向同性介质或立方系晶 体 中，沿任意方向传播的光波， 允许有两个传播速度相同的线性 不相关的偏振态(二偏振方向正 交)，相应的振动方向不受限制， 并不局限于某一特定的方向上。
当常数值为2ωe/ε0，式左 是电能密度表达式，电能总 为正，真空介电常数也总为 正，故上式为一正二次型方 程，代表一个椭球。 坐标轴选择得和椭球的主 轴方向一致的坐标系称为主坐标系，主
坐 标系中三个坐标轴相应的方向称为 主介电轴（主轴）。
所以在主轴坐标系中有：
xx x2 yy y2 zz z2 常数
（1）θ=0°或90 °，波法线方向平行 或垂直于光轴时，α=0，k0与s0，E与 D方向重合。
（2）对于正单轴晶体，α>0， e光的光 线较其波法线更靠近光轴，对于负 单轴晶体，α<0，e光的光线较其波 法线远离光轴；
（3）当k0与光轴间夹角有tanθ=ne/no时， 有最大离散角。
四、光在双轴晶体中的传播
2、双反射现象：当一束光从晶体 内部(例如方解石晶体)射向界面 上时，会产生两束的反射光， 这就是双反射现象
3、与各向同性介质的相同点
a.界面上波矢的切向分量
是相等的：
r kr
r ki
grr
0
所以反射，折kr射t k光ri g的rr 法0 线
都在入射面内。
b.晶体的反射，折射公式为：
与各向同性介质的反射，折射公式相同
vr vr gs0 s0
vp和vr的关系：单色平面波的相速度是其光线
速度在波阵 面法线方
向上的投影
vp vrs0gk0 vr cos
二、菲涅耳公式 1、波法线菲涅耳公式
在各向异性介质中即(k0·E)并不一定为零， 作为公因子前面部分可以略去，得：
关于下式的讨论
这是一个 n2的二次方程，给定波法线 方向，一般有两个不相等的实根。这 预示双折射现象的存在，即在晶体中 对应于光波的一个传播方向，可以有 两种不同的折射率（双折射）或两种 不同的光波相速度。进一步分析表明， 这两个光波都是 线偏振光，且它们的 D矢量互相垂直。
介质在电学性质上是各向异性的， 即介电常数ε是各向异性的。
5、各项异性介质中D和E关系
D的各个直角分量和E的各个直角分 量之间呈线性关系，即：
Dx
Dy
0 0
xxEx yxEx
xy Ey yy Ey
xz Ez yz Ez
Di
0
ij E j
j
Dz 0 zxEx zy Ey zz Ez
三、光在单轴晶体中的传播
1、主折射率
（1）折射率
x y z nx ny no
nz ne
且：no2 ne2
no ，ne是 主折射率，寻常光的折射率 等于 no，非寻常光的折射率则不一定 等于 ne，正/负单轴晶体
正
负
（2）坐标轴选择 波法线方向位于yz平面内，
解为：
n no
m neno /
（2）几何结构分类（七大类）：立方 晶系，六方晶系，四方晶系，三方 晶系，正交晶系，单斜晶系和三斜 晶系；
（3）光学性质分类：各向同性，单轴 和双轴晶体
2、各类晶体的特点 （1）立方晶系的特点 光学各向同性晶体，D和E的方向相同，
波法线椭球退化成圆球。
（2）六方，四方和三方晶系的特点
属于单轴晶体，有两个主介电常数相 等，可分为正单轴和负单轴晶体， 波法线椭球退化成以z轴为旋转轴的 旋转椭球。
4、与各向同性介质的区别
尽管波法线在入射面内，但光线有可能 不在入射面内；
光的折射率因传播方向，电场振动方向 而异，一般在空-晶-空过程中，反射角 不等于入射角；
满足反射，折射公式的nr，θr以及nt，θt 都有两个可能的值。
对e光，nr和nt都是θ=<k，z>的函数。
正入射时，两个波法线方向虽一致但两 折射光线的方向并不一定一致；若折射 波波法线光轴方向传播时，折射方向将 有无穷多个，存在锥光折射现象。
正单轴晶体
负单轴晶体
4、双轴晶体 截面方程
三个主轴截面上的截线如 右图所示 下图为折射率曲面在三个主轴截面上
的截线。
§7.5 平面波在晶体表面的反 射和折射 一、光在晶体界面上的双反射
和双折射
1、双 折射现象：一
束单色光从空气入射
到晶体表面(例如方解石晶体)上时， 会产生两束同频率的折射光，这 就是双折射现象；
只要给定晶体，知道晶体的主介电 张量，就可以做出相应的折射率椭 球，并且确定波法线矢量k0等物理量 方向。
4、各种晶体的折射率椭球 单轴晶体
正
负
双轴晶体
二、折射率曲面和波矢曲面
1、折射率曲面：以晶体内某一固定点 为原点，在同一波法线方向k0上画出 两个长度分别等于折射率(n′,n″) 的矢 径r=nk0，当k0取所有的方向时，矢 径端点所形成的双壳层曲面就叫折 射率曲面，记做（k,n）
第4章 晶体光学
§7.1 介电张量
一、各项异性介质的介电张量
1、各向异性，是指介质的光学性质在 不同的方向上有不同的值，或者两 两不相等，或者至少有两个彼此不 相等。晶体就是一种均匀的、透明 的，但却是各向异性的介质。
2、张量的基础知识
零阶张量(标量)：如果一个物理量在坐 标移 动时数值不变，则称为标量(T, m, …)
no2 no2
n2 n2
Ex 0
cos2 Ey
n2
sin
cos Ez
0
n2 sin cos Ey ne2 n2 sin2 Ez 0
Ez Ey no2 sin ne2 cos Dz Dy sin cos
可见，e光矢量和D矢量