一、n 阶方阵的三角分解
1.上三角矩阵R 的逆 R 1 也是上三角矩阵,且对角 元是R 对角元的倒数;
2.两个上三角矩阵 R1、R2 的乘积 R1R2也是上三角
矩阵,且对角元是 R1与R2对角元之积; 3.酉矩阵U 的逆 U 1也是酉矩阵; 4.两个酉矩阵之积 U1U2也是酉矩阵.
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(3 )三角 |A | 不 B | ||A ||等 ||B || |式 ,A ,B P m n .
则称映 |||射 |为pmn上的矩阵 . 范数
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例 1 设APmn， 则
nm
|| A||m1
| aij |
j1i1
nm
1
|| A||m2(
| aij |2)2
j1i1
|A ||m | m i,j{a a i||j} x 1 i m 1 j n
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定义 2 设 |||a | : P m l R ,|||b | : P l n R ,
||||c:Pmn R是 矩 阵 范 数 ， 如 果 ||A|c B | ||A |a |||B |b |
则 称 矩 |||a |阵 ,|||b |和 范 |||c |数 相. 容 如果 ||A|B |||A ||||B ||
0 0 0 0 0 0
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定理 2 设 A C r m n ,且 A B 1 D 1 B 2 D 2 均 为 A 的最大秩分解，则
(1) 存在 r阶可逆Q， 矩使 阵得 B 1 B 2 Q D 1 Q 1 D 2
( 2 ) D 1 H ( D 1 D 1 H ) 1 ( B 1 H B 1 ) 1 B 1 H D 2 H (D 2 D 2 H ) 1 (B 2 H B 2 ) 1 B 2 H
被称为极大列和范数 .
例 5 从属|于 | x||的算子范数为
n
|| A||max( | aij |) i j1
被称为极大行和范数 .
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定义 2 设ACnn，i是A的特征值，
r(A)ma|xi |称为A的谱半径 . i
例 6 设 A Pm n ，则|从 |x|2 |的 属算 于子 范数（又称为谱范数） 为
则称||映 ||为 C 射 n上向 x的 量 范 . 数
向 量 范 数 的 性 质 ：
(1)||0||0； (2)x0时|， | 1 x| | 1;
||x|| 返回
(3 )对x 任 C n ， 意 | |x 有 | ||x |||;
( 4 ) 对 x ,y 任 C n ， ||x || 意 || 有 y ||| | |x | y |.|
例 2 设 x P n ,A P n n ， |A ||则 m |2是 |x ||与 2 |
相容的矩阵范数 .
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定理 1 设 ||x|a | 是 Pn上的向 ,A 量 Pn 范 n,则 数
|| A||am xa|x|||Ax|x||a|a
(max|| ||u||a1
Au||a)
是 与 向 量||x范 ||a相 数容 的 矩.阵 范 数
例 1 设 x (x 1 ,x 2 ,L ,x n ) C n ， 则
n
(1) || x ||1 | xi | i1
n
(2)|| x||2( | xi |2)1/2 i1
1范数 2范数
(3)||x||m 1iax n|xi |
无穷范数
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定 理1(Ho ..lder不 等 式 ) 若p,q1，且1pq11，
则 对 C n 任 意 向 量 x (x 1 ,x 2,L ,x n )T ,y (y 1 ,y 2 ,L , y n )T 都 有
n
n
n
|xi||yi|( |xi|p)1/p( |yi|q)1/q
i 1
i 1
i 1
例 2 设 x (x 1 ,x 2 ,L ,x n ) C n ， 则
n
||x||p( |xi|p)1/p 1p i1 ..
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注 1 . ra (A n ) rka (A n H A )k ra (A n H ) A k
2. Hermite 矩阵的基本性质
( 1 )( A ,) ( ,A ) , , C n
(A ,)(A )HHAH H A
(, A)
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(2 ) i R , i (A )
( 3 ) A x i i x i , A x j j x j ,i j ( x i , x j ) 0
定义 1 设||•||a是Pn上的向量||范 ||m数 是， Pnn上的矩阵范数，且
||A|a |x ||A |m |||x|a | 则|称 ||m | 为与向||•量 |a | 相 范容 数的矩 .
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例 1 设xPn,APnn，则
nn
|| A||m1
| aij |
j1i1
是与向量 ||•|1范 | 相数 容的矩. 阵范数
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定理 3 设APnn,
(1 ) 若 A (a 1 ,a 2 , ,a n )则 ,
n
||A||2 F||A||m 22 ||ai ||2 2
i1
其中 ||ai|2 2 |， aiH ai.
n
(2) ||A |m 2 |2t(rA H A ) i(A H A )
i1
(3) 对任意的 U、 酉 V 矩 Pn阵 n，有
则称A为正规矩阵.
引理 1 设A为正规矩 A与B 阵 酉， 相似， B为正规矩阵
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引理 2 (Schu) r设ACnn，则存在酉矩
U，使得
AURUH
其中R， 是一个上三角矩 对阵 角且 线主 上的
元 素 为 A的 特 征.值
引理 3 设A正规矩阵且是三角 ，矩 则A是 阵
对角矩阵 .
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定理 5 n阶复矩阵 A是正规矩阵的充要条件 是A与对角矩阵酉相似. 即存在 n阶酉矩U阵 ， 使得
||A |2 m |2 ||U H A|V 2 m |2 ||UA H |2 m |V 2
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推论 1 设APnn, 对任意的U 酉 、V矩 P阵 nn，
有 |A ||m |2 |U | |m |2 A |A | |m V |2 |U | |A m |2 V
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3. 算子范数
一、 算子范数
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定义 3 设 x(k)(x1 (k),x2 (k),,xn (k))T C n ， 如 k l i m xi(k)ai (i1,2,,n)
则称向 x(k)收 量敛 a序 (a1 于 ,a 列 2,,an).
定义 4 lim x(k) a
k
lim||x(k)a||0
k
定理 4 设|| ||是Cn上 的 任 一 向 量 范 数 ， 则
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§4 矩阵的最大秩分解
定理 1 设 ACrm n,则 存B 在 Crm 矩 r, 阵 DCrrn， 使 得
ABD
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矩阵的最大秩分解步骤：
一、进行行初等变化为 ，行标准形：
i1
i2
ir
0 1 * 0 0 *
0
0
0
1
0
*
~
A
0
0
0
0
1
*
0 0 0 0 0 0
P63页，相容的矩阵范数一定存在与之相容 的向量范数。
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定理 3 如果 ||•||m:CnnR是一相容 阵范数，则A 对 C 任 nn一 ，有
|i |||A||m
其中i， 是A的特征 . 值
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二、算子范数 的计算:
例 4 从属于向||量 x|1 |的 范算 数子范数
n
|| A||1ma(x |aij|) j i1
A Ud (1 i, a 2, g,n)U H
其中 1,2 ， ,,n是 A 的 n个特 . 征值
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定理6
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§3 Hermite矩阵及其分解
定义1 A C n n ,A H A A 是 H e r m ite 矩 阵 A C n n ,A H A A 是 反 H e r m i t e 矩 阵
是Cn上的向量范数 Hol， de范 称 r 数 .为
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定理 2 设 ||||是 Cm 上的A 范 Cn m 数 n，， 则 || A||是Cn上的范数 .
定义 2 设 在 V n(P )上定 ||x|义 a |,|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx|b |了 两种 量范数，若 C1存 0,C2 在 0， 常使 数得
C 1 ||x ||a ||x ||b C 2 ||x ||a x V n ( P ) 则|称 |x|a |与 ||x|b |等.价 定理 3 Vn(P)上的任意两个向量 均范 等数 价 .
第二章
向量与 矩 阵的范数
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1 向量的范数
定义 1 设映射 ||||:CnR满足： (1 )正定 ||x | |0 性 ,当且 x 0 时 仅 ||x |， |当 0 ;
( 2 ) 齐|次 |x | | |||性 x || ,R ,x C n ;
(3 )三角||x 不 y| ||等 |x | |||y 式 || ,x ,y C n .
||A||2 r(AHA)
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三、 谱范数的性质
定理 4 设ACnn，则 ( 1 )|A ||2 | |A |H |2 | |A |T |2 | |A ||2 | ( 2 )|A |H A |2 | |A |H A |2 | |A ||2 2 | (3) 对任 n阶 何 酉U 矩 及 V 都 阵有
推论 1 设 ||x|a |是 Pn上 的 向 ,A 、 量 BP 范 nn, 数
||A||a是从属 ||x于 ||a的算子范数，容 则的 它 矩阵范数，即
||A|a B | ||A |a |||B |a |