1
0
5
5
0 5
0 1
0 5
5
0
1
5
5
00
5
1
0 0
1
1
05
1
5
, 不可逆矩阵
P是否可逆？
A的特征向量p1,p2 , pn组合成P P是否可逆？ p1,p2 , pn是否线性无关？
不是所有的方阵都能对角化
❖ 回忆： ❖ 不同特征值的特征向量必然线性无关 ❖ 相同特征值未必有线性无关的特征向量
相似矩阵，多项式计算
A PBP1 Ak PBk P1 ( A) P(B)P1
P1 AP Ak Pk P1 ( A) P()P1
1k
k
2k
(1 )
,
()
nk 的一个结论
f () | A E | ，求证f (A) O
证明：
假设P1 AP diag(1, 2 , n )
3 1
5 2
2
1
3 51 7 15 3 5 2
1
2
2
4
1
2
1
P1 AP
如何对角化
相似对角化
P (p1, p2 , pn ) P1 AP
AP P
A(p1, p2 , pn ) ( Ap1, Ap2 , Apn )
1
(p1, p2 ,
p
n
)
2
n
(1p1, 2p2 , npn ) Api ipi , (i 1, 2, , n)
P就是由A的特征向量组合而成的
5 51
1
5
5
1
10
1
5
5
5 5
1 1
0 0
0
1 1
5
5
5 1
5
1
11＝11
1 10
1
0
1 1 1 5 5 1 1 10
1
1
5
5
1
第五章 第三节
相似矩阵
相似矩阵
P1 AP B PBP1 A, 相似对称性 P1 AP B, Q1BQ C Q1P1 APQ C (PQ)1 APQ C A,C相似（相似传递性）
相似矩阵特征值完全相同
假设P1 AP B
| B E || P1 AP P1( E)P || P1( A E)P | | P1 || A E || P || A E |
特征多项式相同 特征值相同。
P
1 2
3
5
P 1
5
2
3 1
A
1
2
B P1 AP
5 2
3 1
1
1
2
2
3 5
5 2
6 1
2
2
3
5
7 2
15
4
相似变换成为简单的矩阵
相似矩阵的特征向量不同
P1 AP B PBP1 A
Ap p PBP1p p BP1p P1p B(P1p) (P1p) B和A特征值相同，但是特征向量不同，变成P1p
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0， 0 2 0 ， 0 2 0 ， 1 2 3 0 0 2 0 1 2
遇到多重特征值， 要仔细计算解集的秩
08:14
0 0 1
A
1 1
1 0
x 0
，x取什么值时能对角化？
0 1
| A E | 1 1
x (1 )
1 ( 1)2 ( 1)
所有特征值i ,都有f (i ) 0, A PP1
f (1 )
f ( A) Pf ()P1 P
f (2 )
P1 POP1 O
f
(n
)
7
2
15
4
3
1
6
2
2
3
1
7
2
15 4
5 2
1
5 2
7
2
15 3
4
1
5 2
1
1 0
1 1,必然有特征向量，不用计算。 2 3 1，仔细计算 ( A E)x 0，解特征向量
解集秩＝2 R( A E) 1
1 0 1 1 0 1
A
E
1
0
x
~
0
0
x 1
1 0 1 0 0 0
R( A E) 1 x 1 0 x 1的时候可以对角化。