YTxx
2 压缩感知理论分析
YTxx
2 压缩感知理论分析
压缩感知介绍最终版 ❖ 从上式中求出 是一个线性规划问题，但由于方程的个
数少于未知数的个数 MN，这是一个病态问题
❖ 但如果x 具有稀疏性，则有可能求出确定解。Candes、
Tao等人提出必须保证观测矩阵不会把两个不同的K 项稀
疏信号映射到同一个采样几何中，这就要求从观测矩阵 中抽取的每个列向量构成的矩阵是非奇异的，
法来稀疏地表示某一个信号。
❖ 右图为一些不 同的字典
2 压缩感知理论分析
压缩感知介绍最终版
观测器的目的是采样得到 M 个观测值，并保证从
中能够重构出原来长度为 N 的信号 x 或者稀疏基
下的系数向量 。
观测过程就是利用 M N观测矩阵的 M 个行向量 对稀疏系数向量进行投影，得到 M 个观测值，即
❖ 这就大大考验了数字化社会对信息处理的能力， 包括：数据存储、传输和处理速度，基于 Nyquist采样的理论遭到严峻的考验。
1 背景介绍
一个亟待解决的问题：
❖ 能否以远低于Nyquist采样定理要求的采样速率获取 信号，而保证信息不损失，并且可以完全恢复信号？
❖ 即能否将对信号的采样转化为对信息的采样？
❖ 用一个与基 不相关的观测基
对系数向量进 行线性变换，并得:到M 观测N向(M 量N)
Y : M1 ❖ 利用优化求解的方法从观测集合中精确或高概率地
重构原始信号 。
x
2 压缩感知理论分析
❖ 如同信号带宽对于Nyquist，信号的稀疏性是 CS的必备条件；
❖ 如同Nyquist采样规则对于Nyquist-Shannon 采样定理，CS的关键是非相关测量（该测量 称为测量矩阵），他们都是信号得以精确恢 复的条件；
❖ 2、在实际应用中，为了降低成本，人们常将采样 的数据经压缩后以较少的比特数表示信号，而很 多非重要的数据被抛弃，这种高速采样再压缩的 方式浪费了大量的采样资源，另外一旦压缩数据 中的某个或某几个丢失，可能将造成信号恢复的 错误。
1 背景介绍
❖ 而现实生活中，随着信息技术的高速发展，信 息量的需求增加，携带信息的信号所占带宽也 越来越大
3 压缩感知应用
3.1 波形信号仿真分析 3.2 CS图像融合 3.3 单像素CS相机 3.4 CS雷达
1 背景介绍
1.1 传统采样理论介绍及问题提出 1.2 压缩感知理论的基本思想
1 背景介绍
压缩感知介绍最终版
❖ 传统的基于Nyquist采样定理指导下的信息的处理 主要表现在两个方面：
❖ 1、采样速率需达到信号带宽的两倍以上才能精确 重构信号。这样的采样硬件成本昂贵，获取效率 低下，对宽带信号处理的困难日益加剧。
得高维信号投影到一个低维空间上; ❖ 3、然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投
影中以高概率重构出原信号。
2 压缩感知理论分析
2.1 压缩感知的前提 2.2 压缩感知流程介绍 2.3 第一步：信号的稀疏表示 2.4 第二步：观测矩阵的设计 2.5 第三步：信号重构
2 压缩感知理论分析
压缩感知介绍最终版
❖ 如同Fourier变换对于Nyquist，非线性优化是 CS重建信号的手段。
2 压缩感知理论分析
压缩感知介绍最终版
❖ 如图是一个稀疏度为3的稀疏变换，x,在时域x
基本都是非零值，
❖ 但将其变换到 域
时，非零值就只有3 个了，数目远小于 原来的非零数目，实 现了信号的稀疏表 示。
2 压缩感知理论分析
压缩感知介绍最终版
❖ 这是压缩感知理论的基础和前提，也是信号精确重构的保证。 对稀疏表示研究的热点主要有两个方面：
❖ 1、基函数字典下的稀疏表示： ❖ 寻找一个正交基使得信号表示的稀疏系数尽可能的少。比较
常用的稀疏基有：高斯矩阵、小波基、正（余）弦基、 Curvelet基等。Candes和Tao经研究发现光滑信号的Fourier 系数、小波系数、有界变差函数的全变差范数、振荡信号的 Gabor 系数及具有不连续边缘的图像信号的Curvelet 系数等 都具有足够的稀疏性,可以通过压缩感知理论恢复信号。
压缩感知介绍最终版
Compressed Sensing (CS)：Theory and Applications
1 背景介绍
1.1 传统采样理论介绍及问题提出
1.2 压缩感知理论的基本思想
2 压缩感知理论分析
2.1 压缩感知的前提 2.2 压缩感知流程介绍
第一步：信号的稀疏表示 第二步：观测矩阵的设计 第三步：信号重构
1 背景介绍
压缩感知介绍最终版
❖ 一种新的理论—Compressed Sensing(CS,压缩感知， 亦称压缩传感)。
❖ 由Candes、Romberg、Tao和Donoho等人在2004年提 出，2006年才发表文献
❖ 基本思想： ❖ 1、信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的; ❖ 2、就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所
疏(K-Sparsity)的。
2 压缩感知理论分析
❖ E.Candes等人证明了：信号的稀疏性是CS 的必备条件。
❖ 信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的， 这个条件的限制等同于信号带宽对于Nyquist 采样定理的约束。
2 压缩感知理论分析
压缩感知介绍最终版
❖ 长度为N的信号x 在正交基 上的变换系数是稀疏的；
❖ 2、超完备库下的稀疏表示： ❖ 用超完备的冗余函数库来取代基函数，称之为冗余字典，字
典中的元素被称之为原子，目的是从冗余字典中找到具有最 佳线性组合的K项原子来逼近表示一个信号，称作信号的稀 疏逼近或高度非线性逼近。
2 压缩感知理论分析 ❖ 超完备库下的稀疏表示涉及到两个问题： ❖ 一是如何构造这样一个适合某一类信号的冗余字典； ❖ 二是在已知冗余字典的前提下如何设计快速有效的分解方
❖ 稀疏性的定义：
❖ 一个实值有限长的N维离散信号xRN1，由信号理 论可知，它可以用一个标准正交基
T 1 , 2 , k, K
的线性组合来表示，假定这些基是规范正交的，
其中 T表示矩阵 的转置，那么有
N
x kk k1
其中 k x,k ，若 x 在基 上仅有K K N个非
零系数 k 时，称 为信号 x 的稀疏基，x 是 K 稀