0
s.t.
Y T x
1 压缩感知理论分析

对于0-范数问题的求解是个NP问题，需要列出所有非零项位 置的种组合的线性组合才能得到最优解，在多项式时间内难 以求解，而且也无法验证其可靠性。 Chen，Donoho和Saunders指出求解一个优化问题会产生同 等的解。于是问题转化为：

min T x
目标场景的稀疏基设计， 非相关测量 最优化重构算法等。
3 压缩感知应用
3.4.3 CS与雷达成像
实际场景信号的构成模式比点目标模型要复杂得多； 大场景雷达成像，由于噪声的缘故，在实际雷达系统 中非相关测量的设计是一个有待解决的问题 ； 压缩感知需要求解一个非线性最优化问题，即需要较 高的信噪比，然而大场景雷达成像的数据量特别大， 且信噪比很差。因此，如何利用CS实施大场景雷达 成像是一件非常具有挑战性的课题。
的线性组合来表示，假定这些基是规范正交的， T 其中 表示矩阵 的转置，那么有
x k k
其中 k x, k ，若 x 在基 上仅有K K N 个非 零系数 k 时，称 为信号 x 的稀疏基， x 是 K稀 疏(K-Sparsity)的。
k 1
N

2 压缩感知应用
“数字微镜阵列”完成图像在伪随机二值模型上的线性投影的光学计 算，其反射光由透镜聚焦到单个光敏二极管上，光敏二极管两端的电 压值即为一个测量值y，将此投影操作重复M次，即得到测量向量Y，
然后用最小全变分算法构建的数字信号处理器重构原始图像x。
数字微镜器件由数字电压信号控制微镜片的机械运动以实现对入射光 线的调整，相当于随机观测矩阵。

1
s.t.
Y T x
或者：
min Y T x T x
2

1
求解该最优化问题，得到稀疏域的系数，然后反变换即可以 得到时域信号。
1 压缩感知理论分析
目前出现的重构算法主要可归为三大类：

1)第一类贪婪算法：这类算法是通过每次迭代时选择一个局 部最优解来逐步逼近原始信号，典型的贪婪算法--MP算法， 贪婪算法是针对组合优化提出, 目前已发展了多种变形，例 如，OMP, OOMP, CosMP等。该类重建算法速度快, 然而需 要的测量数据多且精度低。

1 压缩感知理论分析 如同信号带宽对于Nyquist，信号的稀疏性是
CS的必备条件；
如同Nyquist采样规则对于Nyquist-Shannon
采样定理，CS的关键是非相关测量（该测量 称为测量矩阵），他们都是信号得以精确恢 复的条件；
如同Fourier变换对于Nyquist，非线性优化是
混频器 积分器 ADC
r t
pc t 取值1,1
3 压缩感知应用

假设空间有若干个稀疏目标，将目标所在的距离向与方位向 分割成网格形式。CS雷达可以检测的目标数量 K N 2 ， 2 K<<N 为稀疏单元数目。如果 ，则可以采用CS理论，通 K 过优化问题求解，精确分辨出空间的多个目标。
2)第二类凸优化算法：这类方法是将非凸问题转化为凸问题 求解找到信号的逼近，如BP算法，梯度投影方法等。该类 算法速度慢，然而需要的测量数据少且精度高。 3)第三类组合算法：这类方法要求信号的采样支持通过分组 测试快速重建，如代表性方法Sparse Bayesian。该类方法 位于前两者之间。


2 压缩感知应用
运用压缩感知原理，RICE大学成功研制了单像素CS相机。 传统百万像素的相机需要百万个探测传感器，而压缩传感 数码相机只使用一个探测器来采光，然后跟捕获后的计算 相结合来重构图像。这种样机的镜头由两部分组成：一个 光电பைடு நூலகம்极管和一个微镜阵列。 该相机直接获取的是M次随机线性测量值而不是获取原始信 号的N 个像素值，为低像素相机拍摄高质量图像提供了可 能。
yM H ( M ) f reconstruct s
y1 H (1) f
L
M
2 压缩感知应用
分布式压缩感知（DCS）与MIMO雷达
（2）联合稀疏表示
构造压缩测量矩阵 对接收信号 y1 ,L , yM 进行联合稀疏表示，即是充分利用接收信号 自身以及接收信号之间的相关性信息，对变 换域系数进行联合编码，对接收信号进行降 低冗余度的信息融合 。
图像融合的目的是提高图像显示的质量、实现图像的特征 提取、图像去噪、目标识别和跟踪以及图像的三维重构。 大部分图像的稀疏特性为CS的应用带来可能，同时CS的 引入为图像的融合在计算速度、融合策略上都带来了新的 飞跃。


3 压缩感知应用
图像融合结果图：
2 压缩感知应用
2.3 单像素CS相机

2 压缩感知应用
2.4 CS雷达


在雷达目标探测中，目标相对于背景高度稀疏， 与复杂的雷达系统、海量数据呈现极度的不平 衡，这就为CS技术在雷达目标探测与识别的应 用提供了必要的条件。 3.4.1 CS与传统的高分辨雷达 3.4.2 CS与MIMO雷达 3.4.3 CS与雷达成像
2 压缩感知应用
2 压缩感知应用
分布式压缩感知（DCS）与MIMO雷达
（3） DCS-MIMO联合重构算法 求 解 欠 定 方 程 的 处 理 过 程 ， 实 现 DCSMIMO雷达信号重构。 常采用的方法有贪婪算法、粒子群算法、 模拟退火算法等优化算法。
3 压缩感知应用
3.4.3 CS与雷达成像
基于CS的SAR成像需要解决的主要问题有:
3 压缩感知应用
3.4.2 CS与MIMO雷达

2004年Fishler等人提出了多输入多输出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)雷达的概念
MIMO雷达收发阵列配置图
2 压缩感知应用

对于均匀线阵的MIMO雷达信号模型，利用CS方法估计目 标波达方向(Direction of Arrival，DOA)，可以高概率的精 确估计目标的DOA。
压 缩 感 知 估 计 MIMO雷 达 的 波 达 角
压 缩 感 知 估 计 MIMO雷 达 的 波 达 角 9
估 计 的 DOA 实 际 的 DOA
4 3.5 3 2.5
8 7 6
估 计 的 DOA 实 际 的 DOA
散射系数
散射系数
5 4 3
2 1.5 1 0.5 0 -10
均匀线阵MIMO雷达估计结果1
2 1
均匀线阵MIMO雷达估计结果2
-8
-6
-4
-2
0 波达角
2
4
6
8
10
0 -10
-8
-6
-4
-2
0 波达角
2
4
6
8
10
2 压缩感知应用
分布式压缩感知（Distributed Compressive Sensing, DCS）与MIMO雷达

相参MIMO雷达系统通过多发多收形成大数量的虚拟阵列， 在发射机、目标以及接收机之间构成对目标的分布式探测系 统，这与分布式压缩感知（DCS）的思想不谋而合。
1、基函数字典下的稀疏表示： 寻找一个正交基使得信号表示的稀疏系数尽可能的少。比较 常用的稀疏基有：高斯矩阵、小波基、正（余）弦基、 Curvelet基等。Candes和Tao经研究发现光滑信号的Fourier 系数、小波系数、有界变差函数的全变差范数、振荡信号的 Gabor 系数及具有不连续边缘的图像信号的Curvelet 系数等 都具有足够的稀疏性,可以通过压缩感知理论恢复信号。 2、超完备库下的稀疏表示： 用超完备的冗余函数库来取代基函数，称之为冗余字典，字 典中的元素被称之为原子，目的是从冗余字典中找到具有最 佳线性组合的K项原子来逼近表示一个信号，称作信号的稀 疏逼近或高度非线性逼近。

如果多个信号都在某个变换基下是稀疏的,并且这些信号彼此 相关,那么每个信号都能够通过测量矩阵进行联合压缩测量， 利用优化方法对待测量进行联合重构。
2 压缩感知应用
分布式压缩感知（DCS）与MIMO雷达
（1）基于MIMO雷达体系的DCS变换基构造
f1 M fN
H H
1
L

但如果 x 具有稀疏性，则有可能求出确定解。Candes、 Tao等人提出必须保证观测矩阵不会把两个不同的K 项稀 疏信号映射到同一个采样几何中，这就要求从观测矩阵 中抽取的每个列向量构成的矩阵是非奇异的，
这跟有限等距特性(RIP)条件的要求是一致的。

R.Baraniuk将上述条件简化为如果保证观测矩阵和稀疏 基不相干，则在很大概率上满足RIP性质。不相干是指 j 不能用 i 稀疏表示，不相干性越强，互相表示时所需的 系数越多。
压缩感知理论及应用
Compressed Sensing (CS)：Theory and Applications
1 压缩感知理论分析
1.1 压缩感知的前提 1.2 压缩感知流程介绍 第一步：信号的稀疏表示 第二步：观测矩阵的设计 第三步：信号重构
2 压缩感知应用
2.1 2.2 2.3 2.4 稀疏表示去噪 CS图像融合 单像素CS相机 CS雷达
1 压缩感知理论分析
第三步：信号重构

首先介绍下范数的概念。向量的p-范数为：
s
p


N i 1
si
p

1
p
当p=0时得到0-范数，它表示上式中非零项的个 数。

由于观测数量M N ，不能直接求解，在信号 x 可压缩的前提下，求解病态方程组的问题转化 为最小0-范数问题：
min T x
1 压缩感知理论
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 压缩感知的前提 压缩感知流程介绍 第一步：信号的稀疏表示 第二步：观测矩阵的设计 第三步：信号重构