b2 a2 c2 2c ， 显然有 PF2 F1F2 ，则 2c ，即 a a
即 e2 2e 1 0 ，解得 e 2 1
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 1。 所以，椭圆的标准方程为 8 2
2 2 y a b 5 ，且过点 ( 2,0) ； （4）焦点在 轴上，
y 2 x2 解析： （4）设椭圆方程为 2 2 1 ， a b
2 ∴ 2 1 ，∴ b2 2 ， b
又∵ a 2 b 2 5 ，∴ a 2 3 ，
y 2 x2 所以，椭圆方程为 1 ． 10 6
圆中一些几何要素 与椭圆方程间的关 系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 解一：设椭圆方程为 2 2 1 ，依题意， a b
焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
8 解一：由定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又已知 | PF1 | 4 | PF2 | ，解得 PF1 a ， 3 2 PF2 a ， 在 PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 3
MF1 a ex0
焦半径
MF1 a ey0 MF2 a ey0
MF2 a ex0
2．双曲线
3．抛物线
第三部份：典型例题
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1） 两个焦点的坐标分别是 (4,0) 、 (4,0) ，椭圆上 一点 P 到两焦点距离的和等于 10 ；
解析几何（二）圆锥曲线
第一部分：2008江苏高考数学科考试说明
内 容
要 求 A B C
椭圆的标准方程和几何性 √ 质（中心在坐标原点） 17．圆锥 双曲线的标准方程和几何 √ 曲线与方 性质（中心在坐标原点） 程 抛物线的标准方程和几何 √ 性质（顶点在坐标原点）
第二部分：要点精讲
1．椭圆
{M MF1 MF2 2a ， 2a F1 F2 }
3 5 （6）椭圆经过两点 ( , ) ， ( 3, 5) 。 2 2
x2 y 2 1 （ m, n 0 ） 解析： （6）设椭圆方程为 ， m n
5 2 3 2 ( 2 ) ( 2 ) 点评：求椭圆的方 1 由 m 得 m 6, n 10 ， n 程首先清楚椭圆的 3 5 定义，还要知道椭 1 m n
条件
{M MF1 点M到l1的距离 MF2 点M到l 2的距离 e ， 0 e 1}
标准方程
x2 y2 + 2 =1 (a b 0) 2 a b
y M
y2 x2 + 2 =1 (a b 0) 2 a b
y
F2
标准方程
x2 y2 + 2 =1 (a b 0) 2 a b
y M
y2 x2 + 2 =1 (a b 0) 2 a b
y
F2 F2
x M O x
图形
F1
O
F1
a,b,c 关系 焦点坐标 焦点位置 焦距 离心率
b2 a2 c2 (c,0)
b2 a2 c2 (0,c)
在 x 轴上
在 y 轴上
F1 F2 2c ， c 2 a 2 b 2
y 2 x2 所以，椭圆的标准方程为 1 ． 3 2
（5）焦距为 6， a b 1 ；
解析： （5）∵焦距为 6 ，∴ c 3 ， ∴ a 2 b2 c2 9 ，又∵ a b 1 ，∴ a 5 ， b 4 ，
x2 y 2 y 2 x2 所以，椭圆的标准方程为 1 或 1 ． 25 16 25 16
∴ a 2 10 ，又∵ c 2 ，∴ b2 a2 c2 10 4 6 ，
（3）焦点在 x 轴上， a : b 2 :1 ， c 6 ；
解析： （3）∵ c 6 ，∴ a 2 b2 c 2 6 ，① 又由 a : b 2 :1 代入①得 4b2 b2 6 ， ∴ b2 2 ，∴ a 2 8 ，又∵焦点在 x 轴上，
e c (0 e 1) a
焦点坐标 焦点位置 焦距 离心率
(c,0)
(0,c)
在 x 轴上
在 y 轴上
F1 F2 2c ， c 2 a 2 b 2
e c (0 e 1) a
准线方程
a2 a2 l1 ： x ； l 2 ： x c c
a2 a2 l1 ： y ； l 2 ： y c c
解二：∵△F1PF2 为等腰直角三角形， ∴ PF2 F1 F2 2c, PF1 2 2c . ∵ PF1 PF2 2a ，∴ 2 2c c 2a ，
c ∴ a 1 2 1 2 1
x2 y 2 变式 1：已知双曲线 2 2 1, (a 0, b 0) 的左，右 a b
解析： （1）∵椭圆的焦点在 x 轴上，故设椭圆的
x2 y 2 标准方程为 2 2 1 （ a b 0 ） ， a b
∵ 2a 10 ， c 4 ，∴ b2 a 2 c 2 9 ，
x2 y 2 1。 所以，椭圆的标准方程为 25 9
（2）两个焦点的坐标分别是 (0, 2) 、 (0, 2) ，
3 5 并且椭圆经过点 ( , ) ； 2 2
y 2 x2 2 1（ a b 0 ） ， 2 a b
解析： （2）∵椭圆焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程为
由椭圆的定义知，
3 5 3 5 3 1 2a ( )2 ( 2)2 ( )2 ( 2)2 10 10 2 10 ， 2 2 2 2 2 2