化工机械强度与振动
由于已经过静平衡，所以
m1 m2 m0 0
代入上式有
F m1r1 m2 r2 m0 r0 2
(4-3)
由上式知，当转速提高后由于动挠度的影响，经过低速动平衡的转子又出现了新的 不平衡惯性力，使转子产生振动。如转速进一步提高，使转子二阶以至更高振型出 现，那么由于振型的变化，将又有新的不平衡。 对柔性转子的平衡，常用的是振型平衡法。首先对转子进行低速平衡，以消除一些 明显的不平衡量，然后使转速接近第一阶临界转速，在转子中部配量以消除一阶振 型时的不平衡量（设为对称转子）；再使转速接近第二阶临界转速，在二阶振型的 反节点处加配重以消除二阶振型m不平衡量，这样一直进行到稍超过转子的工作转 速。然后再对转子进行一次刚性动平衡。
式中M为系统的等效质量，m为转子偏心质量，e为偏心矩。从中可以看出振幅x与偏 心质量和偏心矩成正比，要减小振动就要使转子质量分布尽可能均匀。
化工机械强度与振动
一、转子刚性动平衡 叶轮机械转子的质量偏心来源于材质的不均匀，加工、装配误差等，实际上很难消 除。但如偏心量过大，则会使叶轮机械在运转中剧烈振动。所以转子在运行前都是 作平衡试验，力求偏心量尽量小，使得叶轮机械能平稳运行。 对于一个完全平衡的转子，理论上要求转子旋转时的离心惯性力的合力与合力偶都 等于零。转子对轴承只有自重引起的静力作用。反之转子即处于不平衡状态。 转子偏心质量可引起转子的 静不平衡或动不平衡。 1.静平衡问题 当偏心质量全部处于一个 平面内，如薄圆盘，在旋 转时将产生离心惯性力F力 在圆盘平面内，并通过转 轴，所以只有一个合力， 无合力偶，如图4-1a
化工机械强度与振动
二、等直径轴的临界转速 1.振动的微分方程及解 求等直径轴的临界转速，也就是求相应等 截面梁的横振固有频率。一般滑动轴承都 可视为铰链支坐。这样滑动支承的轴便可 作为简支梁讨论，如图示： 从材料力学中知梁某截面上参数间的静力关系为 转角 弯矩 剪力 分布力
图4-8 简梁的挠度和转角
设转子以转速ω 旋转，令
F1 m1e1 2
F2 m2e2 2
2 m1e1 2 3
Ⅱ 代替，则应有 将 F1 用同在垂直平面且又分别位于两端面的平行力 F Ⅰ F
F Ⅰ
同理，对 F2 有
2 m1e1 2 3
1 FⅡ m1e1 2 3
1 F F m1e1 2 Ⅰ Ⅱ 3 Ⅱ F Ⅱ 几何相加，可得 将 F Ⅰ F Ⅰ F
1
也可在相反的方向加配重，这样转子就可达到刚性动平衡。如 F1 , F2 不垂直，则可将 它们分解到垂直与水平方向，而后如上所算。
化工机械强度与振动
二、转子柔性动平衡（高速动平衡） 由离心惯性力引起的动挠度是和转速有关的。因此，在低速时平衡（又称刚性平衡） 的转子，到高速时又可能会失稳而剧烈振动。校正这种动不平衡必须把离心惯性力 引起的动挠度影响考虑进去，故称为柔性动平衡或高速动平衡。
dy dx
d2y M EJ 2 dx dM d3y Q EJ 3 dx dx dQ d4y q EJ 4 dx dx
(a) (b) (4-9)
(c)
(d)
式中y=f(x)为梁的挠度函数
化工机械强度与振动
在系统自由振动中，惯性力是作用在系统上的唯一载荷，惯性力的线集度 m为单位长度梁质量。从4-9(d)式中有
(4-14)
上式有A、B、C、D四个积分常数和 、 两个待定系数，但简梁有四个端点条 件，再加上两个振动初始条件，恰好可决定这六个常数。
化工机械强度与振动
2.固有频率和主振型 对于等截面简支梁端点条件为
1) x 0, Y 0 0 2) x l , Y l 0 3) x 0, Y 0 0 M 0 4) x l , Y l 0 M 0
化工机械强度与振动
第二节 转子的临界转速
一、单圆盘转子的临界转速 现考察一单圆盘无重量轴系统，如图 4-5所示，圆盘放置在中点。 在转子的加工及平衡过程中，使转子的重 心与其几何轴线完全重合是很难做到的， 总有残余不平衡度。设圆盘的质量为m， 对称安装在轴上，盘的质心c的偏心距为e， 即O’C=e，O’为圆盘的几何中心。轴承中 心线穿过盘平面O点。 图4-5 由质量不平衡产生的对称弓状旋曲 设转子以匀角速度ω 绕AO’B轴线旋转，由于离心力的作用，使转轴产生动挠度， 呈弓状。由图可见，轴中心的挠度为OO’。此弓状平面又以一定角速度绕轴承连心 线AOB旋转，这两种转动的角速度并不一定相同。此种现象称为转轴的弓状旋曲， 或称涡动，进动。这里仅讨论转速相等的情况，即所谓同步正进动。同步正进动是 工程中最为常见的。 取o点为坐标原点，O‘点的坐标为（x，y），则圆盘质心C的坐标为 （x+ecosω t,y+esin ω t），可得质心C的运动方程为
4 y 2 y EJ 4 m 2 0 x t
y x, t Y x T t
T(t)为简谐函数 故 代入4-1具有与时间无关的确定的振型之特性，可设上式的解为
y x, t Y x sin t
转子平衡、临界转速与强度
第一节 转子平衡
在旋转机械中，由于转子质量偏心引起的强迫振动是很常见的。关于偏心质量引起 的强迫振动，在振动理论中得到系统的稳态响应为：
me x M
r2
1 r 2 r
2 2
2
sin t
(4-1)
tan
2 r 1 r2
(4-2)
方位为
F 5m1e1 Ⅰ m Ⅰ 2 R 3R 1 1 F Ⅰ Ⅰ tan tan 1 2635 2 F Ⅰ FⅡ 2m1e1 mⅡ 2 R 3R
端面Ⅱ半径R处钻孔，去掉质量为 mⅡ ，则
F Ⅱ Ⅱ tan tan 1 1 45 F Ⅱ
k n
或
k m
(4-8)
nk
30
当r>1即 n 时，

2
k
rpm
，如r>>1, 。
化工机械强度与振动
具有粘性阻尼的弓状旋曲转轴的振幅和相位的关系见下图
图4-6 具有粘性阻尼同步正进动时转轴的振幅和相位关系 为了明显，忽略系统的阻尼，
er 2 R 1 r2
当r<1时，R为正的有限值，表示动挠度与偏心距同向。当r>1时，R为负值，表示动 挠度与偏心距反向。当r→∞，R→e，这时轴绕圆盘质心旋转，质心C与O点重合， 称为自动定心。其幅值和相频图见图4-7 。
化工机械强度与振动
图4-7 无阻尼时单盘转子弓状旋曲的幅频图(a)与相频图(b) 由于在转子的同步正进动中，转子绕AO’B轴线旋转的角速度与弓状平面绕轴承连心线 AOB旋转的角速度相等，所以圆盘相对弓状平面并无旋转。因此转轴受拉伸的纤维始 终受拉而受压缩的总是受压，并无交变应力产生。此点和轴的横向弯曲振动是不同的， 所以说弓状旋曲的转轴并无振动。但转子的离心惯性力却对轴承产生一个交变力，并 导致支承系统发生强迫振动。这是在临界转速时感到剧烈振动的原因。正因为这样， 工程上常把临界转速是支承发生剧烈振动的现象和共振不加区分。实际上这是两种不 同的物理现象。
T t sin t
(4-11)
d 4Y EJ 4 2 mY 0 dx d 4Y 4 k Y 0 4 dx m 2 4 k EJ
(4-12)
(4-13)
化工机械强度与振动
式4-12是四阶常微分方程，它的解可取为 Y x e sx ，代入可得特征方程 它的四个根为 该式的解为 又 故通解形式为
化工机械强度与振动
d2 m 2 x e cos t kx Cx dt d2 m 2 y e sin t ky Cy dt
或
cx kx me 2 cos t mx cy kx me 2 sin t my
r
k c , n , n m 2 mk
化工机械强度与振动
O’(x,y)点的运动轨迹是一个圆，其半径即转轴的动挠度
OO R x y
2 2
er 2
1 r 2 r
2 2
2
(4-7)
从以上两式可见动挠度R随频率比r的变化而变化。当r值较小时（r<<1），线段O‘C=e 比盘心位移段OO’=R导前的相位角 / 2 ,动挠度R值亦较小。当r=1，即 n 时， / 2，如在无阻尼情况下，此时动挠度趋于无限大，实际上由于阻尼的作用， 动挠度为有限值。这个较大的动挠度仍将会导致转子的破坏，并使机组受到巨大的激振 力而剧烈振动。这时的转速称为临界转速，以 k nk 表示，及临界转速 k 在数值上 等于转子横振动的固有频率，所以它的数值可以用计算转子横振动固有频率的方法来计 算。
图4-1
这种不平衡可用静力实验法来找，将转子放到一对水平轨道上，轻轻滚动，转 子总是在偏心质量垂直向下的位置停下来。这时只要在轮子相反的方向加配重 或在相同的方向钻孔，去掉一些重量就可以达到目的。最后要使转子在重力作 用下能随遇平衡。此时就称转子已达静平衡了。
化工机械强度与振动
2.动平衡问题 如图4-2转子，两个薄圆盘各有一同样大小的偏心质量m，其偏心距e也相等。显然 此转子是静平衡的（Σ F=0）。 但当转子旋转时，就会有一合力偶 M me l ，此合力偶最终作用到支承上，引 起机组振动。这就是所谓动不平衡。转子动不平衡需用动平衡机做试验才能检验。
2
薄圆盘装斜了也可产生动不平衡。在转速较高的情况下,只要有很小的偏斜（约 1°），就会引起超过静反力百倍以上的反力。 现有如图4-3所示长转子，长度为l，半径为R。在距左端l/3的平面内垂直方向有偏心 2 量 m1e1，在中间平面内水平方向有偏心量 m2e2 m1e1