第四章 晶格振动与晶体热学性质
1、格波：由于晶格具有周期性，晶格的振动模具有波的形式，称为格波 2 2、相邻原子间的相互作用：F dv ， d v 2 d dr a 第n个原子的运动方程：m n ( n 1 n 1 2n )，nq Aei (t naq ) 2 4 1 色散关系： 2 [1 cos aq] sin 2 ( aq) m m 2 (1)由于 是q的偶函数 (2)一维单原子链的色散关系与弹性波的色散关系有区别：弹性波的色散关系是线性的，＝cq, 一维单原子链 2 3、对色散关系的讨论 c是弹性波的波速。 ?而格波的频率是周期函数 q q 。 a q cq (3)当q很小时，一维单原子链的色散关系与连续弹性介质波的色散关系一致： a m 4、格波的物理意义 (1)一个格波解表示所有原子同时做频率为的振动，不同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为aq。 (2)q的取值范围 a q a , q的取值及范围常称为布里渊区 2 i ( Naq ) 1，q h 5、Born Von Karman边界条件：e Na 运动方程 m 2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 ) 1、两种原子的运动方程及其解 M 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n ) 2 n Aei[t (2 na ) q ] 运动方程的解 i[t (2 n 1) aq ] 2 n 1 Be mM 4mM 2 2 1/2 光学波： mM {1 [1 (m M ) 2 sin aq] } 晶格的振动 mM 4mM 2 2 1/2 声学波： mM {1 [1 (m M ) 2 sin aq] } m 2 2 B m 2 2 B 2、光学波和声学波 两种格波的振幅比： ， 2 cos aq A 2 cos aq A ( q ) ( q ) a 由于 和 都是q的周期函数，周期为 a ( q ) ( q ) a 一维单原子链只有一支格波，而一维双原子链既有声学波又有光学波 一维双原子链 ( ) min (0) 0 声学波 2 ( ) ( ) max 2a M 一维双原子链的两只格波有一定的频率范围 2 ( ) min ( ) 2 a m 光学波 ( ) (0) 2 (m M ) max 3、对色散关系的讨论 mM 在 与 之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。 max min 声学波反映的是原胞的整体振动，或者说是原胞质心的振动。 光学波是复式格子特有的，在光学格波的情况下两种原子构成的两种格子在保持质心不动 的情况下作刚性的相对振动 h 2 q的取值：q 2 Na
1、在三维晶格中，对于一定的波矢q，有3个声学波，（3n－3）个光学波。 1 N V 3 q在q空间均匀分布的密度为：分布密度= (2 ) (2 )3 b b1 b 2 3 2、q空间 N1 N 2 N3 晶格振动的波矢数=晶体的原胞数，晶格振动频率数=晶格的自由度 三维晶格的振动 (1)对于原胞只含有一个原子的晶格，与一维单原子链类似，只有声学支。不同之处在于，一维单 原子链的一个原子只有一个自由度，相应于一个声学支，原子的振动方向与波传播的方向一致， 3 、晶格振动谱 称为纵声学支。现在除了纵波外，还可有两个原子振动方向与波传播方向垂直的横声学波存在。 (2)对于原胞包含两个以上原子的复式晶格，类似于双原子链，除声学支外还有光学支，在q＝0处 有非零的振动频率 布里渊散射 1、光子散射 确定晶格振动谱的方法 喇曼散射 晶格的振动 2 、中子散射 b11 0 2 W b11W b12 E 1/2 1/2 1、黄昆方程 b12 b21 [ (0) ()] 0 0 P b W b E 21 22 b [ () 1] 0 22 离子晶体的长光学波近似 1/2 2 d W d 2W b 2 (0) 2、横波方程： 2 T b11WT ；纵波方程： 2 L b11 12 WL；LST 关系 LO 0 b22 TO () dt dt 3 、对于离子晶体，长光学波和它频率相同的电磁波相互作用时，可发生共振吸收 1 、局域振动：局限在杂质（或缺陷）附近的晶格振动称为局域振动 ' 2、高频模：对于一维单原子链，当杂质原子的质量与原子的质量之间的关系为m m时，在原有的频率之上出现新的频率 的模称为高频模 局域振动 3、共振模：当m' m时，将出现的模为共振模 4、隙模：晶体中杂质或缺陷可能引入一些新的振动模式落在频隙之间称为隙模
1、晶格热容和电子热容：固体平均内能包括晶格振动能量和电子运动能量，这两种运动对固体的热容量均 有贡献，分别称为晶格热容和电子热容 2、杜隆－珀替定律：热容是一个与温度和材料性质无关的常数，具有N个原子的固体，其热容为CV ＝3Nk B j 2 j / k BT ( ) e 热容理论 3N 3N k T d E j (T ) d E j (T ) j 晶格振动频率为分立值的情形： k B B j / k BT ， C C V V dT dT 3、热容的一般表示 (e 1) 2 j 1 j 1 m e / k BT 振动频率为连续值的情形：C ( E ) k ( ) 2 g ( )d v V B / k BT T k B T (e 1) 2 0 1、模型的特点：晶格中各原子在振动时相互独立的，所有原子都以相同的频率振动。 0 / k BT 2 2、晶格热容：C 3 Nk ( 0 / k B T ) e v B 0 / k BT (e 1) 2 T E /T 1，CV 3Nk B ( E ) 2 ( ) 2 3 Nk B 与杜隆－珀替定律一致 高温时，即e 爱因斯坦模型 T E 3、与实验比较 0 2 kBT0 E /T 低温时，即e 1，CV 3 Nk B ( ) e kBT 晶格振动的热容量 爱因斯坦模型只适合于近似描述声子谱中的光学支对热容的贡献 3 1 2 1、模型特点：把晶格看作是各向同性的连续介质，格波为弹性波，并且定义平均声速为 C 3 C 3 C 3 l t 3 V m 3 d E 能量： / k BT 2 2 C 3 1 0 e 2 、能量和热 容 m 3 V 2 e / k BT 德拜模型 热容：CV k ( ) 2 d 2 3 B k B T (e / kBT 1) 2 2 C 0 /T m T 3 D e 4 d 3、德拜温度：定义 D , 则CV 9 Nk B ( ) 2 kB D 0 (e 1) 当温度T D 时，热容趋于经典极限 4、与实验比较 3 3 在极低温度下，热容和T 成正比，称为德拜T 定律。温度越低, 德拜近似越好 n 定义g ( ) lim 0 1、模式密度 V dS 晶格振动模式密度 一般表达式：g ( ) (2 )3 | q (q) | 2、把?q q 的点称为范.霍夫奇点，也叫临界点
1、简谐近似和非谐作用：体系的势能函数只保留至i的二次方程，称为简谐近似。要考虑到高阶作用的则称为非谐作用。 2、晶格的自由能：F U k T 1 i ln(1 e i / kBT ) B i 2 kBT 1 dU E d i 3、晶格的状态方程：p dU i / kBT ，格林爱森方程：p dV dV V e 1 dV i 2 4、热膨胀：在不施加压力的情况下，体积随温度的变化称为热膨胀，非谐效应是热膨胀的原因。热膨胀系数： CV K0 V 5 、晶格的热传导：当固体中温度分布不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，这种现象称为热传导。 dT ， 傅立叶定律：固体中若存在温度梯度，将有热能从高温处流向低温处，热流密度矢量j 正比于温度梯度j dx 非谐效应 比例系数 称为热传导系数或热导பைடு நூலகம்。这称为傅立叶定律 q1 q2 q3 二声子碰撞 q1 q2 q3 Gh 1 c v ，声子间的碰撞决定了声子平均自由程，密切依赖于温度 v 0 3 k T 1 6、非谐作用是晶格达到热平衡最主要的原因 高温情况：T ， B D n /k T q e q B 1 D / T 低温情况：T D， e 3 极低温情况下：服从T 定律