b R 都有 b a b ，所以，任意 R 的元素 a 都是
运算 的右幺元. R 中有无数多个右幺元，但是没有 幺元. 例 5.3 代数系统 R, 中，其中 R 为实数， ” “ 是普通乘法，问 1 是它的幺元吗？ 解：代数系统 R, ，其中 R 为实数， ”是普 “ 通乘法， 并且对任意的实数 m R ， m 1 1 m m ， 有
于运算“ ”的零元.
注意：零元的符号“ ”有时候也用“ 0 ”表示， 但“ 0 ”不一定具有自然数 0 的含义，它只是零元的记 号.
例 5.4 代数系统 Z , 中，其中 Z 为整数， ”是 “ 普通乘法，问 0 是它的零元吗？
0 解： Z 且对任意的 m Z ， 均有 m 0 0 m 0 ，
运算的左零元， R 中没有右零元，也没有零元.
定理 5.3 设 为集合 A 上的二元运算， l 和 r 分别为运 算 的左零元和右零元，则有 l r 且 是 A 上关于 运算 的惟一零元. 证明略. 8、设 为集合 A 上的二元运算，且在集合 A 中存在单 位元 e ，对任意的 m A 若存在 yl A ，有 yl m e ，则称 yl 为 m 的左逆元. 若存在 yr A ， m yr e ， 有 则称 yr 为 m 的右逆元. 若存在 y A ，有 m y y m e ，则称 y 为 m 的 逆元.
例如， 在整数集合上加法是满足消去律的.对任意的 整数 x, y , z 由 x y x z或y x z x 可得 y z . 消去了 x .类似地，对乘法也有消去律.但在幂集 P(S ) 上，取 A,, B, C P(S ) ，由 A B A C 不一定能得到
例如: 在幂集 P ( S ) 上的 和 是满足吸收律的.
若 算“”满足左分配律； b c a b a c a ， 则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律 均满足， 称运算“ ”对运算“ ”满足分配律. 则

5、 设 是 A 上的二元运算，若存在 a A ，有
注意：验证一个运算为集合上A的二元运算，要满足 以下两个条件： ⑴ A中的任何元素都可以进行这种运算，且运算 的结果是唯一的. ⑵ A中的任何元素的运算结果都属于A ，即运算 在A上是封闭的.
例1 判断下列几个命题哪些是正确的，哪些是不正确的. (1) 自然数集合N 上的加法，乘法都是二元运算，但减 法，除法不是。 (2) Z 上的加法，乘法，减法都是二元运算， 但除法不 是。Z 上求相反数的运算是一元运算。 (3)A为任意集合，则并、交、差、补为集合A上的幂 集Ｐ(Ｓ) 上的二元运算. (4) M n ( R) 表示所有 n 阶实矩阵的集合(n 2) ，
a a a ，则称 a 是关于运算“ ”的幂等元.如果
对任意的 a A ，都有 a a a ，则称运算“ ”满 足幂等律. 例如， 幂集 P( S ) 上的 和 运算适合幂等律， 但对 称差运算不适合幂等律（除非 P(S ) ）. 定理 5.1 设 是非空集合 A 上的二元运算， m 为 运算 的幂等元，对于任意的正整数 n ，则有
元；若 A 中有一个元素 e ，它既是左幺元又是右幺元， 则称 e 为 A 中关于运算 的幺元. 对于给定的集合和运算有的存在幺元，有的不存在 幺元.例如， R 是非零实数集， 是 R 上的二元运算， 任取 a, b R .对所有的 b R 都有

ab a
，
所以，运算 没有左幺元.但对任意的 a R .对所有的
n个
当n=1时，函数 f 称为集合A上的一个一元运算； 当n=2时，函数 f 称为集合A上的一个二元运算； 二元运算是最常见的代数运算.
f : N N N , f a, b a b 就是自然数 例如: 集合N上的一个二元运算.但普通的减法运算不是N 上的二元运算，因为两个自然数相减可能为负数， 而负数不属于自然数.这时也称集合N对减法不封闭.
所以 0 是代数系统 Z , 的零元.
M n (R) 上矩阵乘法的零元是 n 阶零矩阵，而矩阵加
法没有零元.在幂集 P(S ) 上 运算的零元是 S ， 运算 的 零 元 是 . 在 R 上 如 果 定 义 运 算 ， 使 得 对 任 意
a, b R 满足 a b a ,那么 R 的任何元素都是关于
mn m .
6、设 是 A 上的二元运算，如果有一个元素 el A ， 使得对于任何 x A 都有 el x x ，则称 el 为 A 中关于运 算 的左幺元；如果有一个元素 er A ，使得对任何
x A 都有 x er x ，则称 e r 为 A 中关于运算 的右幺
则矩阵的加法、减法、乘法和除法都是二元运算。
解：在上述个命题中，⑴、⑵和⑶是正确的，⑷是 错误的.
我们通常用 ,,, 等符号表示二元运算，称为算符.
设 : A A
A 是Ａ上的二元运算，对任意的
x, y A, x, y z 可记作
x y z ．
和二元运算一样，也可以使用算符来表示ｎ元运算.若 f ( a1 , a2 ,, an ) b ，则可记为 a1 , a2 ,, an b ． 例如， 一元运算， (a) b a1 , a2 b 二元运算， a1 , a2 , a3 b 三元运算.
B C .所以， 运算不满足消去律.但是对称差运算
满足消去律. 注意：在使用消去律时要注意，消去的元素不能 是该运算的零元.例如， 普通乘法适合消去律.但是， 不 能由 0 4 0 6 得到 4 6 .因为 0 是乘法的零元.
习题 5.1
1、判断下列集合对所给的二元运算是否封闭 ⑴整数集合 I 和普通的减法运算 ⑵非零整数集合 I 和普通的除法运算
n个
a b c a b c a b c
满足结合律时，用数学归纳法很容易证明
a a a ， a
m n
m n

m n
a
mn
，m,n为正整数.
3、若 a b c a b a c ，则称运算“ ”对运
4、若 a a c a ，则 称运算“ ”对运算“ ”满足 若 左吸收律；若 a b a a ，则 称运算“ ”对运算 ”对运 “ ”满足右吸收律.若左右吸收律均满足，则称运算 “ ”对运算“ ”满足吸收律.
这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是 a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元. 和二元运算．
如果集合Ｓ是有穷集，Ｓ上的一元和二元运算也可以用 运算表给出.表5―1和表5－2是一元和二元运算表的一 般形式.
表5－1
表5－1
例2、(2) 设 S 0,1, 2,3, 4 ，定义 S 上的两个 二元运算如下：
2x 1 | x I 和乘法运算 ⑶
⑷ 0,1和普通的加法和乘法运算 2、 N 是自然数集，定义 N 上的运算“ ”，
n, m N , n m n 2m ，问“ ”是否是 N 上可结合
注意：一般来讲，左，右逆元未必同时存在，即使一个代数系 统中的某个元素既有左逆元又有右逆元，它们也未必相等. 例如，自然数集 N 关于加法运算只有 0 N 有逆元 0 ，其他的 自然数都没有加法逆元.在整数集 Z 中，加法幺元为 0 ，对相反数 x .因为
x ( x) 0, ( x) x 0 .
在 M n (R) 上，对于矩阵乘法只有可逆矩阵 M M n (R) 存在逆元
M 1 ， M M 1 E 和 M 1 M E 成立， 使得 其中 E 为 n 阶 单位矩阵.
9、设 为 S 上的二元运算，如果对任意的 x, y, z S 满足以下条件 （1）若 x y x z 且 x 不是零元，则 y z ， （2）若 y x z x 且 x 不是零元，则 y z ， 就称运算 满足消去律
x y ( x y) mod 5 x y ( xy) mod 5
(x, y S ) (x, y S )
求运算 和 的运算表。 解：( x y) mod 5 ， xy ) mod 5 分别是 x, y 的和 ( 与积除以5的余数，运算表如下：
二、有关运算律。 设 , 是 A上的二元运算，如果对A内的任意元素 a,b,c
例如：实数R上的全体n阶方阵构成的集合 M n R 上的方阵的乘 法满足结合律，而减法不满足结合律. 在幂集P(S)上 , , 也是 可结合的.
注意：⑴一个代数运算如果满足结合律，则进行
运算时常省略括号，如： ⑵如果每一次参与运算的都是同一个元素，还可以用 该元素的幂来表示，如 a n a a ，当运算 a
1、若 a b b a ，则称运算“ ”在A上是可换的 ，或 者说运算“ ”满足交换律.
例如：在实数集R上，通常的加法和乘法都满足交换律，但减法 和除法不满足交换律.因为2和4都是实数.因为2-4≠4-2.在幂集 P(S)上 , , 都满足交换律，但相对补不满足交换律.
2、若a b c a b c，则称运算“*”在A上是可结合 的.或称“*”满足结合律.
第五章 代数系统简介 初等代数研究的对象是数,运算是数的加法、 减法、乘法等.由于数学和科学的发展，我们需 要对许多不是数的对象进行研究，并按照类似于 以上运算的规则进行计算.因此，我们将这些东 西抽象出来统一研究，就产生了抽象代数. 由集合和集合上的运算所构成的系统称为代数 系统.本章将给出代数系统的一般定义与实例， 并讨论一些典型的代数系统.
7、 是 A 上的二元运算， 设 如果存在元素 l ， r ， A .