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3.4.1 正定函数与Lyapunov函数
非线性质量 -阻尼-弹簧系统中，能量函数有两个性质： ① 除了 x和 x 均为0的点外严格为正 ② 当 x及 x 依系统方程变化时，能 量函数单调下降 正定函数
一个标量连续函数 V ( x)称为局部正定的，如果 V (0) 0, 且在一个球BR0内 x 0 V ( x) 0

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例1：局部稳定性
带有粘性阻尼的单摆方程
sin 0

2


选取Lyapunov函数为 V ( x) (1 cos )

2
2
（局部正定）
时间导数 V ( x) sin 0
因此原点是稳定平衡点。 仅靠Lyapunov函数，还得不到系统渐近稳定的结论，因为 导数是负半定的
例：函数
下有界，在原点有惟一最小值 通过在V(x)加1就变为正定函数，而且导数不变
V ( x) x1 x2 1
2பைடு நூலகம்
2
V ( x)是正半定的，如果 V (0) 0且对一切x 0 V ( x) 0
正定函数的几何意义
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如果在一个球 B R0 内，函数V ( x)是正定的，且有连续 偏导数，而且它沿系统x f ( x)的任一轨线的导数为 负半定的，即 V ( x) 0 称V ( x)称为系统 x f ( x)的Lyapunov 函数

f A x x 0
系统 x Ax 称为原非线性系统在平 衡点0的线性化
例：求如下系统的线性逼近
（1） （2）

x 4 x ( x 2 1)u 0
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定理(Lyapunov线性化方法）
如果线性化系统是严格稳定的（A的特征值在 左半开平面），那么非线性系统的平衡点是 渐近稳定的 如果线性化系统是不稳定的（至少有一个A的 特征值在右半开平面），那么非线性系统的 平衡点是不稳定的 如果线性化系统是临界稳定的（A的特征值在 左半闭平面，且至少有一个在虚轴上），那 么由线性化系统得不到原系统的任何信息（ 非线性系统的平衡点可能是稳定的、渐近稳 定的、不稳定的）
如果V(0)=0且上述性质在整个状态空间成立，则称V(x) 为全局正定函数
例如：摆的机械能 是局部正定的 呢？
V ( x) 1 / 2m x 呢？
2
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上述定义表明函数V(x)有一个惟一的最小点：原点0。 在一个球内，任给一个有惟一最小点的函数，都可以通过 在函数上加一个常值的方法使它成为局部正定函数。
如何寻找Lyapunov函数？
Krasovskii方法
待定梯度法
Lyapunov直接方法的控制设计
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3.3 Lyapunov线性化方法（间接法）
“一个非线性系统与其线性逼近在一个小运动范围 内应当有相似行为”
对自治系统
x f ( x)


假定f(x)连续可微，
上式可近似为 x Ax o( x 2 )

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例：使用Lyapunov间接法，考察如下一阶系统的稳定性
x ax bx 5
系统在原点的线性化方程为

x ax
根据上述定理，有 a<0, a>0, a=0,

在a=0时，非线性系统为
x bx 5

a=0时，使用Lyapunov间接方法无法判断，而 Lyapunov直接方法却能解决
C R=1
从单位圆内任意非零 点出发的轨线收敛到 原点，但是原点是 Lyapunov不稳定的
曲线C可能 处于模型有 效区域之外
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在许多工程应用中，知道系统收敛于平衡点是不够的， 需要估计系统轨线趋于0的速度。
平衡点0称为指数稳定的 , 如果存在两个正数 和，使得 t 0, || x(t ) || || x(0) || e t 在原点附近的某个球 Br内成立

Lyapunov函数的几何解释
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3.4.2 平衡点定理
1 局部稳定性的Lyapunov定理
Lyapunov局部定理描述平衡点邻域的稳定性质，通常只与局部正定函数 有关。
局部稳定性：
如果在一个球 BR0内，存在一个标量函数 V ( x),它具有一阶 连续偏导数，并且 V ( x)正定 V ( x)负半定 那么平衡点 0是稳定的。 如果导数V ( x)在球BR0内是负定的，那么 0是渐近稳定的

表明向量 x 满足代数方程 f ( x ) 0
！稳定性是针对平衡点而言的。只有对于具有唯一平衡点 的系统或者所有平衡点同时稳定或不稳定的系统谈及系统 稳定与否才有意义
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4 标称运动
在某些实际问题中，要研究在某个运动附近的稳定性。 例如，飞行器轨线控制问题
该类问题可以转化为某个平衡点的平衡点稳定问题
系统的一个解x(t)对应状态空间的一条曲线，称为系统 轨线。
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2 自治系统与非自治系统
线性系统中根据系统矩阵A是否随时间变化分为时变 与 时不变系统。在一般的非线性系统中，称为自治 与 非 自治。
如果非线性方程 x f ( x, t ) 不显含t，即方程可以写为
x f ( x)


则非线性系统称为自治的。
对自治非线性方程 x f ( x)
设x (t )是系统的一个解，即对 应于初值为 x (0) x0 x(0) x0 x0 的标称轨线。 对初始值的扰动
即
x f ( x ) x f (x )
*

x(0) x0 x(0) x0 x0
运动误差e(t ) x(t ) x (t ) 满足非自治微分方程
如果对任意初值渐近（或指数）稳定成立，则这样 的平衡点称为全局渐近（指数）稳定。
线性定常系统的稳定性分为3种：渐近稳定、临界 稳定、不稳定。线性渐近稳定总是全局和指数稳定 的，线性不稳定总是指数发散的。
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本章内容
基本概念
非线性系统 平衡点 稳定（不稳定） 渐近稳定、指数稳定、全局稳定
Lyapunov线性化方法 Lyapunov直接方法 平衡点定理 不变集理论 线性时不变系统的分析
e f ( x e, t ) f ( x , t ) g (e, t )
g(0,t)=0, 该新的动态系统以e为状态，以g代替f,原点为其一个平衡点 可以通过考察新系统平衡点在扰动下的稳定性来判断原系统标称运动的偏离
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一个自治系统对每一个标称运动的 稳定性对应于一个等价的非自治系 统关于平衡点的稳定性。
如何寻找Lyapunov函数？
Krasovskii方法
待定梯度法
Lyapunov直接方法的控制设计
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3.1 非线性系统与平衡点
1 非线性系统
用非线性微分方程描述：
x f ( x, t )

f是一个n 1 的非线性向量函数， x是一个n 1 的状态向量
状态向量对应于相空间中的一个点。 状态向量包含的变量个数n 称为系统的阶
严格意义上，所有的物理系统都是非自治的 自治（即时不变）系统是一种理想概念，如线性系统一样
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自治与非自治的区别： 自治系统的状态轨线不依赖于初始时刻，而非线性系统 一般不是这样。
本章考察自治系统
下一章考察非自治系统
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3 平衡点
状态x称为系统的一个平衡点 ，如果x(t ) x 则此后状态永远停留在 x
“如果一个系统的全部能量连续耗散，那么系统 （不管是线性的还是非线性的）都将最终停止在 一个平衡点处”
例：非线性质量-阻尼-弹簧系统
动力学方程为m x b x | x | k0 x k1 x 3 0

假定质量块由弹簧的自然长度拉开一 大段距离，然后松手，质点运动是否 稳定？
该非线性方程的一般解很难求得 而且Lyapunov线性化是临界稳定的 从能量的角度考察系统性态
R 0, r 0, || x(0) || r

t 0, || x(t ) || R
任意指定的
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例：范德波尔振子的不稳定性

x 0.2( x 2 1) x x 0

如果指定R包含在极限环的闭曲线内，可以看出原点是 不稳定的
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2 渐近稳定性和指数稳定性
工程应用中,仅仅保证系统Lyapunov意义上的稳定（包含 了临界稳定）是不够的。 例如，当卫星的姿态角偏离其正常位置时，不仅要求卫星 姿态偏离能保持在一定的幅值范围内，而且要求其姿态角 能逐渐回归到初始值。
定理（全局稳定性）
假定存在状态 x的标量函数V , 它具有一阶连续偏导数 并且 V ( x)正定 V ( x)负定 当 || x || 时，V ( x) 那么原点作为平衡点是 全局渐近稳定的

径向无界的条件用来保证等值曲线(曲面)V(x)对应于一条 闭曲线。如果曲线不闭，轨线虽然从高等值线往低等值线 走，但却可能漂离平衡点。
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例2：渐近稳定性 非线性系统
取正定函数 沿系统轨线的导数为
V 在 x1 x2 2的区域内局部负定。 从而保证了原点是渐近 稳定的

2
2
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2 全局稳定性的Lyapunov定理
要保证全局稳定性，需要将上述局部定理中放大到整个状态 空间。要给V(x)函数一个附加条件： V(x)是径向无界的 即，当|| x || 时（当x沿任何方向趋于无穷时 ） V ( x)
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本章内容
基本概念
非线性系统 平衡点 稳定（不稳定） 渐近稳定、指数稳定、全局稳定
Lyapunov线性化方法 Lyapunov直接方法 平衡点定理 不变集理论 线性时不变系统的分析