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•第八章 期权定价的数法
隐含树图
• 通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一 致的资产价格树图，从而得到市场对标的资产价 格未来概率分布的看法。其具体方法是在二叉树 图中，通过前一时刻每个结点的期权价格向前推 出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价 格和相应概率 。
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•第八章 期权定价的数法
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•第八章 期权定价的数法
举例说明
• 假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50 元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为 10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为 50元，求该期权的价值。
• 利用倒退定价法，可以推算出初始结点处的期权 价值为4.48元。
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•第八章 期权定价的数法
《金融工程学》第08章 电子教案
2020年5月26日星期二
•第八章 期权定价的数法
主要内容 • 二叉树期权定价模型 • 蒙特卡罗模拟 • 有限差分方法
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•第八章 期权定价的数法
二叉树模型的基本方法
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•第八章 期权定价的数法
无套利定价法
• 构造投资组合包括 D份股票多头和1份看涨期权空
头
•SuD – ƒu
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•第八章 期权定价的数法
单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟
• 蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于 标的变量S所遵循的路径还是仅仅取决于S的最终 价值，都可以使用这一方法。同时，这个过程也可 以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况 。
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•第八章 期权定价的数法
当回报仅仅取决于到期时S的最终价值时
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•第八章 期权定价的数法
蒙特卡罗模拟的技术实现
• 在风险中性世界中， • 为了模拟的路径，我们把期权的有效期分为N个长
度为△t时间段，则上式的近似方程为 或
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•第八章 期权定价的数法
举例说明
• 假设无红利的股票价格运动服从式（8.12），年预 期收益率为14％，收益波动率为每年20％，时间步 长为0.01年，则根据式（8.12）有
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第八章 期权定价的数法
•证券价格的树型结构
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•第八章 期权定价的数法
倒推定价法
• 得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模 型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻 开始往回倒推，为期权定价
• 值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型结构 的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继 续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其 中较大者作为本结点的期权价值。
转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近 、 和 各项，之后用迭代法求解，
得到期权价值。
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•第八章 期权定价的数法
有限差分方法的格点图
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•第八章 期权定价的数法
隐性有限差ห้องสมุดไป่ตู้法
• 隐性有限差分法可以理解为从格点图内部向外推知外部格点 的期权价值 ，如图所示：
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•第八章 期权定价的数法
的近似
• 对于坐标方格内部的点 ，期权价值对资产价格 的一阶导数可以用三种差分来表示：
• 式中， 为运算次数， 为均值， 是标准差，期权 估计值的标准误差为 ：
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•第八章 期权定价的数法
减少方差的技巧
• 对偶变量技术 • 控制方差技术 • 重点抽样法 • 间隔抽样法 • 样本矩匹配法 • 准随机序列抽样法 • 树图取样法
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•第八章 期权定价的数法
有限差分方法
• 在金融界，有限差分方法越来越多地用在期权定价 当中。其主要思想是：应用有限差分方法将衍生证 券所满足的偏微分方程
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•第八章 期权定价的数法
随机样本的产生
• 是服从标准正态分布的一个随机数。大多数程序 语言都为抽取0到1之间的随机数编制了程序。如果 只有一个单变量,则 可以通过下式获得：
• 其中
是0到1的相互独立的随机数。
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•第八章 期权定价的数法
模拟运算次数的确定
• 如果对估计值要求95％的置信度，则期权价值应满 足
续
• 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每
段一个月（等于0.0833年）。可以算出：
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•第八章 期权定价的数法
美式看跌期权二叉树
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•第八章 期权定价的数法
二叉树方法的一般定价过程
• 以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有
效期划分成 N 个长度为 的小区间，令
表示在时间 时第j个结点
处的美式看跌期权的价值，同时用
• 如果 时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍 为：
• 如果 时刻在除权日之后，则结点处证券价格相 应调整为：
• 对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，
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•第八章 期权定价的数法
已知红利额
•假设红利数额已知且波动率为常数时的二叉树图
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•第八章 期权定价的数法
已知红利额
• 把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的， 其价值用 表示，而另一部分是期权有效期内 所有未来红利的现值，假设在期权有效期内只有 一次红利。
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•第八章 期权定价的数法
随机利率的蒙特卡罗模拟
• 如果期权模型中的变量之一本身就是短期无风险利 率或是其他与有关的变量，例如利率衍生产品，则 蒙特卡罗模拟方法与前类似，只是要模拟风险中性 世界中r的路径，每次模拟时既要计算r到期时终值 相应带来的期权回报，又要计算期权有效期内r的 平均值。最后折现的时候使用的贴现率是这个平均 值，用数学符号表示为：
•SdD – ƒd
• 当SuD – ƒu = Sd D – ƒd ，则组合为无风险组合
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•第八章 期权定价的数法
无套利定价法（续）
• 组合在 T 时刻价值为 Su D – ƒu
• 组合现值应为：
(Su D – ƒu )e–rT • 组合现值的另外一个表达式为：S D – f • 因此：ƒ = S D – (Su D – ƒu )e–rT
• 通过不断从标准正态分布样本中抽取 的值，代入 上式，我们可以得到股票价格运动的一条路径。
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•第八章 期权定价的数法
表：股票价格模拟
每步开始时的股票 价格
随机抽样值
20.000
0.52
20.236
1.44
20.847
－0.86
20.518
1.46
21.146 20.883
－0.69 －0.74
该时间步长中的股 票价值变化 0.236 0.611 －0.329 0.628 －0.262 －0.280
表示
结点 处的证券价格，可得：
• 后 ，假定期权不被提前执行，则在风险中性 条件下：
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•第八章 期权定价的数法
支付连续红利率资产的期权定价
• 当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风险 中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q，因此 ：
其中
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•第八章 期权定价的数法
支付已知红利率资产的期权定价
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•第八章 期权定价的数法
无套利定价法（续） • 将代入上式就可得到： • • 其中
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•第八章 期权定价的数法
风险中性定价法
• 在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现
。 • 在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
同样可以推得：
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•第八章 期权定价的数法
适应性网状模型
• 在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接 近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取 代原先低密度的树图。即在树图中那些提前执行可 能性较大的部分，将一个时间步长 进一步细分 ，如分为 ，每个小步长仍然采用相同的三叉树 定价过程，这样使得树图更好地反映了实际情形， 从而大大提高了定价的效率和精确程度。
边界条件
1. 其中 2. 3.
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•第八章 期权定价的数法
求解期权价值
• 用方程差分方程和边界条件，我们可以写出联立方 程：
和
，
，
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•第八章 期权定价的数法
显性有限差分法
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•第八章 期权定价的数法
显性有限差分法
其中
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•第八章 期权定价的数法
有限差分方法和树图方法的比较分析
• 有限差分方法和树图方法是相当类似的。实际上很 多人认为树图方法就是解出一个偏微分方程的一种 数值方法，而有限差分方法其实是这个概念的一个 扩展和一般化。这两种方法都用离散的模型模拟资 产价格的连续运动，主要差异在于树图方法中包含 了资产价格的扩散和波动率情形，而有限差分方法 中的格点则是固定均匀的，只是参数进行了相应的 变化，以反映改变了的扩散情形。
二叉树定价模型的深入理解
• 二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的 运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随 机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路 径。同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致， 即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资 产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入 二叉树模型，模型中隐含导出的概率是风险中性世 界中的概率，从而为期权定价。实际上，当二叉树 模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模 型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克 －舒尔斯偏微分方程。
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•第八章 期权定价的数法
利率是时间依赖的情形
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•第八章 期权定价的数法
P=0.5的二叉树图
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•第八章 期权定价的数法
•三叉树图
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•第八章 期权定价的数法
三叉树图:一些参数
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•第八章 期权定价的数法
控制方差技术
• 控制方差技术是数值方法的一个辅助技术，可以应 用在二叉树模型、蒙特卡罗模拟和有限差分方法上 。其基本原理为：期权A和期权B的性质相似，我们 可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A 的数值方法解。