12
§5.3 横力弯曲的正应力
纯弯曲正应力 My
IZ
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
13
强度条件
弯曲正应力强度条件
1.弯矩最大的截面上 σmax在 2.离中性轴最远处
5
§5.1 纯弯曲
凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长 度不变
－－中性层
中间层与横截面 的交线
－－中性轴
6
§5.2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
7
§5.2 纯弯曲时的正应力 y
二、物理关系:
当
时
p
z
E
E y
x 可确定横截面上的应力分布
y
问题:中性层( y 的起点)在哪里？ 1 怎 样算?
截面为bh=30 60mm2 的矩形
求:(1)截面竖放时距离中性层20mm 处的正应力和最大正应力max; (2) 截面横放时的最大正应力max
b
解: M Fa 5103 0.18 900Nm
竖放时
横放时
IZ
bh3 12
30 603 12
54cm4
y 20mm : M y 33.3MPa
8
§5.2 纯弯曲时的正应力 E E y
平衡条件找答案
三、平衡条件：
z
xM
dA dA
Y 0;
Z 0; mx 0;
自动满足
y
X 0
dA A
yE
E dA
A
ydA
A
E
Sz 0
E 0
Sz yC A 0
yC 0
中性轴通过形心 (y z 为形心主惯性轴)
9
my 0
19
例题
q=60kN/m
120
4. C 截面曲率半径ρ
A
1m
FAY
C
l = 3m
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC 60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
FS 90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
x 90kN
IZ 5.832105 m4 1M EI
C
EIZ MC
200109 5.832105 60 103
IZ
m ax
M IZ
ymax
900 0.03 54 108
50MPa
IZ
hb3 12
60 303 12
13.5cm4
max
M IZ
ymax
900 0.015 13.5 108
100MPa 2 max16
例题
已知:E=200GPa,
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
1.C 截面上K点正应力
5.832105 m4
K
MC yK IZ
60103 (180 30) 103 2
5.832 105
x
61.7 106 Pa 61.7MPa（压应力）
17
例题
2. C 截面最大正应力
q=60kN/m
120
C 截面弯矩
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
B
x
180
K
30
z
MC 60kN m
主要公式:
变形几何关系 y
物理关系 E
E y
静力学关系
1 M
EIZ
My
IZ
为曲率半径
1
为梁弯曲变形后的曲率
11
§5.2 纯弯曲时的正应力
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力
My
IZ
•横截面惯性积 Iyz =0
•弹性变形阶段 ( p )
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲(近似使用)
194.4m
x
20
例题
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
d1 160mm d2 130mm,a 0.267m,b 0.16m,F 62.5kN,
材料的许用应力 60MPa.
分析:
max
M
y max max Iz ？
max M max
Wz
？ 弯矩 M 最大的截面
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ 5.832105 m4
x
90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
x
Cmax
M C ymax IZ
60 103 180 103
2 5.832 105
92.55106 Pa 92.55MPa
18
例题
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
z dA E
A
E
z
A
y dA
Iyz
0
最终内力合成
Iz :惯性矩
mz M
y dA E
A
A
y2dA
E
Iz
M
1M
EIZ
E E y
M y
Iz
正应力分布图 My
IZ
M
注意事项：M，y与都有正负号． 通常用其绝对值代入公式，用变形确 定正应力的正负（拉、压）。
10
§5.2 纯弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力
1
回顾
内力
应力
F
A
T
IP
M
?
?
FAy
FS
2
纯弯曲
§5.1 纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
3
§5.1 纯弯曲
弯曲变形 实验现象
4
§5.1 纯弯曲
平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕
截面内某一轴线偏转了一个角度。
M ql2 / 8 67.5kN m
B
x
FBY
x 90kN
x
180
120
3. 全梁最大正应力
30 最大弯矩
K
z M max 67.5kN m
y
截面惯性矩
Iz 5.832105 m4
max
M max ymax IZ
67.5103 180 103
2 5.832 105
104.17 106 Pa 104.17MPa
σmax
M max ymax Iz
M max
W
σ
WZ
IZ y max
抗弯截面系数
注意:1.变截面梁要综合考虑 M 与 Iz
2.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
t,max t c,max c
14
常见截面的 IZ 和 WZ
空心矩形截面
IZ y面
d 4
IZ 64
WZ
d 3
32
空心圆截面 矩形截面
IZ
D4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
bh3 IZ 12
bh2 WZ 6
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ
( b0 h03 12
bh3 12
)
/(h0 / 15
2)
例题
y
a
F
Fa
20
h
例 图示简支梁
已知: a =180mm , F =5kN,
120
2.C 截面上最大正应力
180
B
x
K
30
3.全梁上最大正应力 z
4.C 截面的曲率半径ρ
FBY
y
FS 90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
解：1. 求支反力 FAy 90kN FBy 90kN
MC 901 6010.5 60kN m
x 90kN
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12