黄颖 14720051
（上海大学 理学院，上海 200444） 摘要：中文摘要（小五号宋体）200 字左右，应包括目的、方法、结果和结论等要素。目的目的目的目的目的目 的目的目的目的目的目的目的目的目的目的目的目的目的。方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方 法方法方法方法方法。结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结 果结果结果。结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论。 关键词：（小五号宋体）关键词需 3~8 个；关键词一；关键词二；关键词三
(2.5)
将 (2.5) 代入 (2.4) ，即有
0
记
a (u , v) [ p
0 1
1
[p
1 du * dv 2 ru *v]dx p (1)u * (1)v(1) fvdx ， v C E (I ) 0 dx dx
(2.6)
du dv ruv]dx p (1)u (1)v(1) dx dx
(2.10)
3
F [u * ] min F [u ]
2 uC E (I )
现在来找 u * 满足的条件。
2 在 CE ( I ) 中任取一个元素 v ，设 是任意非零实数，由 (2.10) 式，有
F [u * v] F [u * ]
(2.11)
而
F [u * v] F [u * ] F [u * ] 2 [a (u * , v) f (v)] 2 a (v, v)
*
2 2 因为 u * ( x) C E ( I ) ，所以 u * (0) 0 ，故只需验证 u * 在 x 1 处满足问题 (2.1) 的边界条件。现取 C E (I ) 中
的函数 v0 ，满足 v0 (1) 0 ，代入方程 (2.8) 并利用上式有 p(1)[ 由于 p(1) 0 且 v0 (1) 0 ，所以
2.3
变分问题与泛函极值问题的等价关系 对于两点边值问题 (2.1) ，它的一次变分为
0
这里的 a(u, v) 和 f (v) 按 (2.7) 式定义。所以求变分问题 (2.8) 的解等价于求使泛函关于任意增量 v 的一次变分
为零的元素 u * 。 作泛函
F [u ] a (u , u ) 2 f (u ) (2.9)
Extremum problem of variational and functional
HUANG Ying 14720051
(College of Sciences, Shanghai University, Shanghai 200444, China)
Abstract: Abstract ( 五 号 ) abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract, abstract abstract abstract abstract abstract abstract. Abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract, abstract abstract abstract abstract abstract abstract. Abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract, abstract abstract abstract abstract abstract abstract. Key words: key word one; key word two; key word three 对于微分方程初、边值问题，一般采用有限差分法求解，下面介绍另一类重要的数值求解工具——有 限元方法。它的处理过程与差分方法有很大的区别：有限元方法不是直接对原来的微分方程作离散，而是 先把微分方程化为等价的变分问题或泛函极值问题，然后再使用有限元方法。本文主要介绍微分方程与变 分问题及泛函极值问题的等价转化，并给出了求解近似解的两种方法。
对上式中的第一项分部积分， 并利用 v(0) v(1) 0 ， 整理后得 [
0
d du * (p ) ru * f ]vdx 0 ，v C0 ( I ) 。 dx dx
所以
d du (p ) ru * f ，即 u * 满足 (2.1) 的第一式。 dx dx
du * (1) u * (1)]v0 (1) 0 。 dx
du * (1) u * (1) 0 ，因此 u * 是问题 (2.1) 的解。 dx 定理 2 设 p ， r ， f 和 满足定理 1 中的所有条件，则变分问题 (2.8) 的解是唯一的。
2 * * 证明：设 u1 和 u2 都是方程 (2.8) 的解，即 a(ui* , v) f (v) ， v C E ( I ) ， i 1,2 。 * * 2 于是 a(u1 u2 , v) 0 ， v C E (I ) ， * * 2 取 v u1 u2 CE ( I ) ，则
d du p ( x) r ( x)u f ( x) ， x I dx dx
du (1) u (1) 0 dx
u (0) 0 ，
(2.1)
这里假设 p( x) C 1 ( I ) ， r ( x) 和 f ( x) 都属于 C 0 ( I ) ，且同时满足：
称 f 是定义在 E 上的一个 n 元函数，记为 f : E 。 E 与 分别称为 f 的定义域和值域。 现将这个概念推广：若 E 是满足某种条件的函数集合，f E ，可通过某种规律 F 使 f 与 中的一 个实数 y 与它对应，则称 F 是 E 上的一个泛函，记为 F [ f ] 。 E 和 仍分别为 F 的定义域和值域。 设泛函 F [u ] 的定义域 E 具有如下性质：如果 u ，v 属于 E ，则存在充分小的正常数 0 ，当 0 时，
0
1
[ p(
* * d (u1 u2 ) 2 * * 2 ) r (u1 u2 ) ]dx 0 。由于 p p0 0 ， r 0 ， dx
故
* * d (u1 u2 ) * * * * * * 。 u2 C (常数) 。又 u1 (0) u 2 (0) 0 ，所以 C 0 即 u1 u2 0 ，即 u1 dx
(2.12)
于是， (2.11) 式成立等价于
2 [a (u * , v) f (v)] 2 a (v, v) 0 ， 0
(2.13)
由关于二次函数的讨论可知，上式等价于
2 a (u * , v) f (v) ， v C E (I )
(2.14)
(2.15)
和
2 a (v, v) 0 ， v C E (I ) ， v 0
lim
F [u * v] F [u * ]
2[a (u * , v) f (v)]
即 F [u ] [ p(
0
1
du 2 ) ru 2 2 fu ]dx p (1)[u (1)]2 。 dx
2 设 F [u ] 在唯一一个 u C E ( I ) 处达到极小值，即
(2.3)
0


1
[
1 d du * ( p( x) ) ru * ]vdx fvdx 0 dx dx
(2.4)
对上式使用分部积分并利用边界条件得
* 1 du dv d du * ( p( x) )vdx p dx p (1)u * (1)v(1) 0 dx 0 dx dx dx
p ( x) p0 0 ， r ( x) 0 ， x I
p0 是常数，另外常数 0 。
(2.2)
定义线性空间：
2 CE ( I ) { f ( x) | f ( x) C 2 ( I ), f (0) 0} 2 2 若 u * ( x) C E ( I ) 是边值问题 (2.1) 的解，将 u * 代入 (2.1) 式，任取 C E ( I ) 中的元素 v 乘 (2.1) 的两边，有
1 泛函与变分的引入
我 们先 回忆 一 下函 数的 概念 。 设 E 为 n 维 Euclid 空 间 n 中 的一 个点 集 ， E 中 每一 点可 表 示为
( x1 , x2 , , xn ) ，又设 是实数集合。如果通过某种规律 f ，在 中找到一个实数 y 与 E 中的点对应，则
③ u 0 ， ( x, y ) 1 ； ④ u g ， ( x, y ) ； ⑤
u u g ， ( x, y ) 。 n
现以第三类边值问题为例： u u [ ( p ) ( p )] qu f ， ( x, y ) x x y y

1
有 u v E 。如果极限
0
lim
F [u * v] F [u * ]

存在，则称此极限是 F [u ] 在 u u * 处关于增量 v 的一次变分。
2 两点边值问题
2.1 变分形式的推导 记 是 n 上的一个有界单连通开区域， 是它的闭包。 I (0,1) ， I [0,1] 。 C ( ) 为定义在 上的 无穷可微函数全体。 两点边值问题如下：
同时成立，后一个条件的成立与否是有泛函本身决定的。 在假设条件 (2.15) 成立的情况下，变分问题 (2.14) 与泛函极值问题 (2.10) 是等价的。