高斯分布背景模型原理
背景差分法的关键是背景图像的描述模型即背景模型，它是背景差分法分割运动前景的基础。
背景模型主要有单模态和多模态两种，前者在每个背景像素点上的颜色分布比较集中，可以用单分布概率模型来描述，后者的分布则比较分散，需要用多分布概率模型来共同描述。
在许多应用场景，如水面的波纹、摇摆的树枝，飘扬的红旗、监视器屏幕等，像素点的值都呈现出多模态特性。
最常用的描述场景背景点颜色分布的概率密度模型（概率密度分布）是高斯分布（正态分布）。
1 单高斯分布背景模型
单高斯分布背景模型适用于单模态背景情形, 它为每个图象点的颜色建立了用单个高斯分布表示的模型),(,t t x N σμ其中下标t 表示时间。
设图象点的当前颜色度量为t X ,若(,,)t t t p N X T μσ≤ (这里p T 为概
率阈值) , 则该点被判定为前景点, 否则为背景点(这时又称t X 与),(,t t x N σμ相匹配)。
在常见的一维情形中, 以t σ表示均方差, 则常根据/t t d σ的取值设置前景检测阈值：若/t t d T σ>，则该点被判定为前景点, 否则为背景点。
单高斯分布背景模型的更新即指各图象点高斯分布参数的更新。
引入表示更新快慢的常数——更新率α， 则该点高斯分布参数的更新可表示为
1(1)t t t d μαμα+=-⋅+⋅ （1）
21(1)t t t
d σασα+=-⋅+⋅ （2） 单高斯背景模型能处理有微小变化与慢慢变化的简单场景，当较复杂场景背景变化很大或发生突变，或者背景像素值为多峰分布（如微小重复运动）时，背景像素值的变化较快，并不是由一个相对稳定的单峰分布渐渐过度到另一个单峰分布，这时单高斯背景模型就无能为力，不能准确地描述背景了。
]1[
2 混合高斯分布背景模型
与单高斯背景模型不同，混合高斯背景模型对每个像素点用多个高斯模型混合表示。
设用来描述每个像素的高斯分布共K 个（K 通常取 3—5个），象素uv Z 的概率函数：
,,,1()(,,)K u v j u v u v j u v j u v j P Z N Z ωμ
==∑∑ 其中,j uv ω是第j 个高斯分布的权值，
背景建模和更新过程（仅针对单个像素）：
1.初始化：第一个高斯分布用第一帧图像该点的像素值作为均值或前N 帧图像该点的像素值的平均值作为均值，并对该高斯分布的权值取较大值（比其它几个高斯分布大）。
其余的高斯分布的均值均为0，权重相等，所有高斯函数的方差取相等的较大值。
2.权值归一化
3.选取背景
由于噪声的影响或前景物体的存在，某些像素值并不能代表背景，因此由这些像素值构造的高斯分布应该去掉。
定义各个高斯分布的优先级：,,,/ju v ju v ju v P ωσ
=
前景和噪声不会在同一位置太长时间，这样，前景和噪声对应的高斯模型的权值和优先级都比较小，因此可以将K 个高斯分布按优先级由高到低排列，用如下策略选取前B 个分布作为背景模型： B 的定义： ,1m i n ()K
j i u v
j B M ω==>∑ 其中M 为预设的阈值。
（如果M 较小，则为单高斯模型）
4.参数更新
多高斯分布模型的参数更新较为复杂，它不仅要更新高斯函数的参数，还要更新各分布的权重，并根据权重把各分布排序。
在获得新的像素值以后，将当前帧的像素值与混合高斯模型中k 个高斯分布分别匹配，若新获取像素值与其中某个高斯分布满足下式，则认为该像素值与高斯分布匹配。
即对每个输入像素值t uv z ,，如果满足式（其中1,-t uv μ为第j 个高斯函数的均值，a 为用户自定义的参数，在实际应用系统中一般取值2.5，1,-t uv σ为第j 个高斯函数在t-1时刻的标准差），则t uv z ,和该高斯函数匹配。
与t uv z ,匹配的高斯分布的参数按如下公式更新：
,,,,1(1)j u v t j u v t ωαωα-=-⋅+，
,,,,1,,(1)j u v t j u v t j u v t Z
μβμβ-=-+ 222,,,,1,,,,(1)()
j u v t j u v t j u v t j u v t Z σβσβμ-=-+- ,,,,,,(,,)j u v t j u v t j u v t
N Z βαμσ= 其中α是用户自定义的学习率，且10≤≤α，α的大小决定着背景更新的速度，α越大，更新速度越快，α越小，更新速度越慢。
β是参数学习率。
]2[
如果没有高斯分布与t uv z ,匹配，则权值最小的高斯分布将被新的高斯分布所更新，新分布的均值为t uv z ,，初始化一个较大的方差和较小的权值。
余下的高斯分布保持相同的均值和方差，但它们的
权值会衰减，即按下式处理：,,,,1
(1)j u v t j u v t ωαω-=-⋅ 5.检测：将待测图像的每一个像素点与和该高斯函数匹配。
该像素点对应的混合高斯模型的各个模型分别进行比较，若有,j u v z a μσ-<
（a 为一常数），则该点属于背景，否则属于前景。
参考文献
【1】基于混合高斯的背景建模与阴影抑制算法研究
【2】中国科学院模式识别实验室ppt。