目录引言 (1)1量子博弈基本理论 (1)1.1单硬币量子博弈 (1)1.2 两硬币量子博弈 (2)2经典异或门 (6)3 量子异或门的实现 (7)3.1 量子异或门的定义 (7)3.2量子异或门的实现过程 (7)3.2.1 方案（一） (7)3.2.2方案（二） (7)结论 (10)参考文献 (11)英文摘要 (11)致谢 (12)量子异或门的实现物理系1003班学生关茹林指导教师王清亮摘要：首先,介绍单硬币及两硬币量子博弈理论基本知识,引入博弈游戏中量子策略比经典策略更具优越性这一特点;其次,在准确掌握了经典异或关系的真值表后,结合量子力学本征值问题的求解及么正变换的基本理论,定义出量子逻辑异或门;最后,利用量子博弈对如何实现量子异或门提出了两套方案,具体分析两套方案的量子实现过程并进行比较得出那种方案更为方便。
关键词：量子博弈；经典异或门；量子异或门；量子么正操作引言早在六七十年代,人们就发现能耗会导致传统计算机的芯片发热,从而影响芯片的集成度,进而限制了计算机的运行速度。
为了克服计算机中的能耗问题,提出了研究可逆计算机,量子计算机概念的提出即是源于对可逆计算机的研究[1-3]。
由于量子计算机概念的提出,实现量子计算机的理论便应运而生,量子计算机最重要的优越性体现在量子并行计算上[4-8],由于具有量子并行处理功能,使一些利用经典计算机只能进行指数算法的问题,当利用量子计算机时能够进行多项式算法,而多项式算法是指运算时间与输入二进制数据的长度即比特的位数之间存在多项式关系[6-10]。
这说明量子并行计算的方法大大提高了量子计算机的效率,使得其可以完成经典计算机无法完成的工作。
在本篇论文中,我们将结合量子博弈中量子硬币博弈和量子逻辑门领域的相关理论,力求提供一套从量子博弈角度实现量子异或门的方案。
1量子博弈基本理论1.1单硬币量子博弈在介绍量子博弈基本理论之前,我们先回顾一下有关经典博弈游戏的过程[1-5]。
采用经典博弈A、B两人做一个经典的硬币游戏:A将一枚硬币放进一个不可透视的黑盒子中,此时两人都知道硬币状态（头朝上或尾朝上）;密封好后将盒子交给B,此后直到盒子打开之前，他们两人都不知道硬币的状态;B摇晃盒子后交给A;A接到盒子后也将其晃动;再次交给B,B晃动后将盒子打开。
他们起初约定好,假如人头向上则A获胜,否则B胜出。
根据概率理论知识可以知道,他们两人都有百分之五十的获胜概率。
采用量子博弈进行以上游戏,A 在盒子中投入硬币后,B 之后的晃动都采取量子操作,但A 仍采取经典晃动,那么B 就完全可以根据自己的意愿采用量子策略来控制此游戏的胜负。
(1)假设A 起初向盒子中投入的硬币为人头面朝上,即其初态可表示为1；则其态密度可表示为：1ρ=11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001 (1.1)(2)B 从A 手中接到密封完好的盒子后,采用量子操作1U (对头面向上,这里⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==11112111S U )对其作用,则有： 2ρ=+S S 11ρ =2G =⎪⎪⎭⎫⎝⎛111121 (1.2) (3)A 此后的经典晃动,硬币的态密度不会发生改变其态密度为：3ρ=2ρ=2G (1.3)(4)此后,B 可以采用量子操作U 2得到任意想要的态:若要得到1,可令⎪⎪⎭⎫⎝⎛===++0001;112112ρS G S S U (1.4)若要得到0,可令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====+10000022222ρS G S U ,这里⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1111212S 。
(5)假设A 在最初投入的硬币其初态是尾面朝上的,即其初态可表示为0，那么B 在首次接到盒子后,仅使得量子操作1U =0S ,仍可以使得初态密度矩阵=1ρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000变为2G 。
(6)通过以上的过程我们可以得出,B 进行首次量子操作后其态密度矩阵变成了2G ,之后由于A 采用的是经典操作此操作并不会使2G 发生改变,那么B 就可以采用合适的量子操作（或+1S 或+0S ）来控制游戏的胜负。
1.2两硬币量子博弈将两硬币的量子博弈游戏在一个密封完好的黑盒子中进行,并且所采用的两枚硬币可以完全区分开，由此可以将这个游戏看作是对每个硬币采取单硬币的量子博弈,那么结果直接可以表示为两个结果的叠加[3-5]。
在数学上可构造成密度矩阵G 22⨯,即可以直接构造成单枚硬币的密度矩阵，22⨯G =2G 2G ⊗=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111111111141111121111121 (1.3) 此对应的久期方程为：0414141414141414141414141414141414=----=-λλλλλE G (1.4)求解此密度矩阵的本征问题可得其本征值为:1,03210====λλλλ。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111213V ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111212V ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111211V ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1111210V (1.5)于是可以得到22⨯G 的对角化矩阵和对角矩阵分别为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111111111111111211S ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1111111111111111212S ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111111111111111213S ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1111111111111111214S (1.6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000001211A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000100000212A , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000010000000000213A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100000000000000214A (1.7) 这里j j j S G S A 22⨯+=,+⨯=j j j S A S G 22（j=0,1,2,3）。
在讨论两枚可以区分开的单硬币的量子博弈时,我们仍规定对于每个硬币头部朝上的态记为1,尾部朝上的态记为0,于是两枚硬币就共有四种可能的态(可以看作是N=4的量子赌盘的博弈游戏)。
首先我们作出下面的规定:o9999987113=，012=，101=，000= (1.8)那么其列矩阵就可以表示为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0001311,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0010201,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==100110,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==1000000 (1.9)经典的采用两枚硬币的以上四个态其对应的变换可表示为!4个矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯1000010000100001022F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯0100100000100001122F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯1000001001000001222F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯0010100001000001322F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯0010010010000001422F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯0100001010000001522F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯1000010000010010622F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯010100000010010722F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯100000101000010822F⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯0001100001000010922F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00010100100000101122F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯01001000000100101022F⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯10000010000101001222F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00101000000101001322F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯10000001001001001422F⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00011000001001001522F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00100001100001001622F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00010010100001001722F⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯01000010000110001822F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00100100000110001922F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯01000001001010002022F⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯0010100001010002122F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00100001010010002222F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00010010010010002322F(1.10)在每一行每一列中都只有一个非零值1。
显然,这里任意的经典操作算符jF 22⨯和22⨯G 是对易的,即[]0,222222222222=-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯G F F G F G j j j j 。
因此可得到122222214102222022141221-⨯⨯⨯-=+⨯⨯⨯-=⨯∑∑+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=j j j j j j j j F G F P F G F P G (1.11) 即22⨯G 不依赖于经典操作中相应于该态的概率。
(1.8)式中四个可能态的密度矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000000000000111ρ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000001000010ρ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000001000000000001ρ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000000000000000ρ (1.12) 显然，311A =ρ,210A =ρ,101A =ρ,000A =ρ。
现在A 和B 来做一个两枚硬币的晃动游戏。
此与单枚硬币的游戏相类似,开始A 在一个完全不可透视的黑盒子中投入两枚硬币,采用的这两枚硬币其初态二人都知道,将盒子密封好后交给B ,B 晃动之后再将盒子交给A ,A 晃动之后再次将其交给B ,B 再次晃动盒子后将盒子打开。
同理,A 、B 两人也事先做了一个胜负的规定,比如说,规定两枚硬币相同面朝上（头部同时朝上或尾部同时朝上）那么A 获胜,否则B 获胜。
对于经典的这种游戏,他们二人获胜的概率相同,都是百分之五十,但在采取量子策略时,B 采用量子的晃动来代替此前的经典操作,而A 仍然采取经典的操作,现在假设这两枚可以完全区分开的量子硬币的初态是0χ,那么整个量子博弈的具体过程就可以用表1.1来体现。
表1.1两硬币量子博弈游戏从表 1.1中可以看出:态为0χ的两枚量子硬币的态密度矩阵可以表示为:000χχρ=。
所以,量子策略采用者可以从3S ,2S ,1S 和0S 中选取合适的幺正矩阵作为对角化矩阵1U ,将0ρ变为22⨯G ,即+=1011U U ρρ;（1）对于22⨯G ,由式（1.10）可知A 采取任意的经典晃动其均无法使密度矩阵发生改变;（2）这样,B 就可从幺正矩阵+3S ,+2S ,+1S 和+0S 中选取合适的矩阵作为其量子操作2U ,从而获得他所需要的任意态,从而实现其对该游戏的控制,按照前面的胜负规定,只要在这一步B 使得他的量子操作+=22S U 或+1S ,他就总可以获取该游戏的胜利。