图与网络的基本概念
将此问题通过图的模型描述：
下图中，点——各城市，带箭头连线——从箭尾城市到箭头城市已订
购有机票，带箭头连线旁的数字——机票数量。
郑州办事处已订
有的到北京的
西
郑
机票数量。
重 8
成 武
昆 上
广
京 沈
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
一、图及其分类和术语
1、 图论中所研究的图并非几何学中的图，也不是绘画中的图。在这 里我们所关心的仅仅是图中有多少个点，点与点之间有无线来连接， 也就是说我们研究的是某个系统中的元素——点，以及这些元素之间 的某种关系——连线。
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正 如一位数学家所说：“可以说，图论为任何一个包含了某种二元关系 的系统提供了一种分析和描述的模型。”
下面我们来看一个案例——
国庆大假期间旅游非常火爆，机票早已订购一空。成都一家旅行 社由于信誉好、服务好，所策划的国庆首都游的行情看好，要求参加 的游客众多，游客甚至不惜多花机票钱暂转取道它地也愿参加此游。 旅行社只好紧急电传他在全国各地的办事处要求协助解决此问题。很 快，各办事处将其已订购机票的情况传到了总社。根据此资料，总社 要作出计划，最多能将多少游客从成都送往北京以及如何取道转机。 下面是各办事处已订购机票的详细情况表：
图与网络的基本概念
关联矩阵——对于图阵
M=（mij） mn，其中
mij = 2 当且仅当 vi是边ej 的两个端点
1 当且仅当 vi是边ej 的一个端点
例——
0 其它
v1
v4
e9
v6
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12
邻接矩阵——对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵 A=（aij） nn，其中
aij = k 当且仅当vi与vj之间有条边时
0 其它
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
邻接矩阵
v1
v4
e9
v6
e1 v2
e2
e3
e5 e6
e12
e10
v5
e11 v7
e1 v2
e2
e3
e5 e6
v3
e12
e10
v5
v1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
e11 v7
e4
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
v3
e7
v8
v1
01001000
e8
v2
10101000
v3
01001002
A=（aij）
nn=
v4 v5
00000110 11100001
v6
0 0 0 1 0 0 10
v7
0 0 0 1 1 1 00
v8
0 0 2 0 1 0 00
图与网络模型Graph Theory
边（无向边）——没有方向的连线
弧（有向边）——带有方向的连线
无向图—— 有向图—— 简单图—— 多重图——
完全图—— 二部图（偶图，双图）——
图与网络模型Graph Theory
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子图——
真子图——
生成子图—— 点生成子图——
边生成子图——
点的次——
奇次点——
偶次点——
链—— 圈——
路——
回路—— 赋权图——
2、连通图
在众多各类图中有一类在实际应用中占有重要地位的图
连通图——在图中，任意两点间至少存在着一条链
连通图
不连通图
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
3、图与矩阵
在图与网络分析的应用中，将面临一个问题——如何分析、计算一 个较大型的网络，这当然需借助快速的计算工具——计算机。那么，如 何将一个图表示在计算机中，或者，如何在计算机中存储一个图呢？现 在已有很多存储的方法，但最基本的方法就是采用矩阵来表示一个图， 图的矩阵表示也根据所关心的问题不同而有——邻接矩阵、关联矩阵、 权矩阵等。
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各办事处已订购机票情况表
成都 重庆 武汉 上海 西安 郑州 沈阳 昆明 广州 北京
成都
重庆 武汉 上海
10
5 15
10
10
8
8
西安 郑州 8 6
15 6
8 2
沈阳 昆明 12 15
8 14
6
广州 北京 10 30
25
8 18 10 10
图与网络模型Graph Theory
定义：图——一个图G是一个有序二元组（V，E），记为G=（V，E） 其中（1） V是一个有限非空的集合，其元素称为G的点或顶点，而称V 为G的点集 V={v1，v2，···，vn}；（2）E是V中元素的无序对(vi，vj)所 构成的一个集合，其元素称为G的边，一般表示为 e =(vi，vj)，而称E 是G的边集。
A
D C
B
图与网络模型Graph Theory
引言
“哥尼斯堡 7 桥”难题最终在 1736 年由数学家 Euler 的一篇论文给 予了完满的解决，这是图论的第一篇论文。在后来的两百年间图论的 发展是缓慢的，直到 1936 年匈牙利数学家 O.Kö nig写出了图论的第一 本专著《有限图与无限图的理论》。
图与网络模型Graph Theory
引言
十八世纪的哥尼斯堡城中流过一条河（普雷.格尔河），河上有 7 座桥连接着河的两岸和河中的两个小岛。当时那里的人们热衷于这样 一个游戏：一个游者怎样才能一次连续走过这 7 座桥，回到原出发点， 而每座桥只允许走一次。没有人想出走法，又无法说明走法不存在， 这就是著名的“哥尼斯堡 7 桥”难题。
在图论的发展过程中还有两位著名科学家值得一提，他们是克希 霍夫和凯莱。克希霍夫在研究电网络时对图的独立回路理论作出了重 要的贡献，而化学家凯莱在对碳氢化合物的同分异构体的数量进行计 数时推动了图论中树的计数问题的研究。
图论的历史上最具有传奇色彩的问题也许要数著名的“四色猜想” 了——历史上许许多多数学猜想之一。它描述对一张地图着色的问题， 曾经有一位数学家这样说：“对于这个问题，一位数学家可以用不到 五分钟的时间向马路上任何一位行人讲述清楚它，然后，两人都明白 这一问题，但是，两人都无能为力。”幸运的是在 1970‘s 终于由美国 的两位数学家借助大型计算机将其证明了。