该渐近线与实轴的交点为
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
夹角为： a
(2k 1) nm
k 0,1,2, , n m 1
【例4.1】 系统开环传递函数为
K * (s 1) G(s)H(s)
s2 (s 2)(s 4)
试根据已知的四个基本规则，确定绘制根轨迹 的有关数据。
解 1.系统开环极点p1=0，p2=0，p3=-2，p4=-4，开环 零点为在z1=-1。将上述的开环零、极点分别用 “×”“O”在s平面的直角坐标系中进行标注。
规则1 在平面上将系统所有的开环零点以“O”表示， 开环极点以“×”表示。
规则2 根轨迹的分支数，起点和终点。根轨迹的分 支数（闭环极点数）与开环有限零点数m和有限极点数 n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。根轨 迹的分支起始于开环极点，终止于开环零点。
分支——当K*从零到无穷大变化时，闭环极点在s平面 上所形成的轨迹；
（4）确定分离点。由式（4-21）得
s(s 1)(s 2)' 0
3s2 6s 2 0
解得 s1 0.423
s2 1.577
由于在－1到－2之间的实轴上没有根轨迹，故 s2=－1.577显然不是所要求的分离点。因此，两 个极点之间的分离点应为s1=－0.423。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定 闭环特征方程为
（2）令闭环系统特征方程中的s=jω ，并令虚 部和实部分别为零而求得。
【例4.3】设系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K*
s(s 1)(s 2)
试绘制系统的根轨迹。
解：（1）系统的开环极点为0，-1，-2是根轨 迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点， 三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。
方法二 令s=jω代入闭环特征方程式，可得
( j)3 3( j)2 2( j) K * 0
即
，
(K * 3 2 ) j(2 2 ) 0
令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即
K * 3 2 0
2 2 0
所以
2
有以上规则即可 概略绘制出系统的根 轨迹图。
用MATLAB程序 绘制出的根轨迹图如 图4.7所示。 MATLAB程序为： y=zpk([],[0 -1 -2],1)； rlocus(y)
起点——对应于根轨迹上K*=0的点；
终点——对应于根轨迹上K*=∞的点。
规则3 实轴上的根轨迹。若实轴上某一线段 右边的所有开环零极点的总个数为奇数，则这一 线段就是根轨迹。
规则4 根轨迹的渐近线。当开环有限极点数 n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支趋于 无穷远处并且无限接近于某一直线（渐近线）。
【例4.2】 已知单位反馈控制系统的开环传 递函数为
G(s) K (0.25s 1) (s 1)(0.5s 1)
计算根轨迹的分离点和汇合点，以及分离点和汇 合点处的根轨迹增益。 解 首先将系统写成开环传递函数零、极点的形 式
G(s) K * (s 4) (s 1)(s 2)
式中 K * K 是根轨迹增益。 2
4.1.1 根轨迹的概念
根轨迹指的是系统某个参数（如根轨迹增益 K *或 开环零、极点）变化时，闭环特征根在s平面上移动的 轨迹。
下面结合图4.1所示系统，说明根轨迹的基本概念。
R(s)
2K
C(s)
s(s 2)
图4.1 系统结构图
系统开环传递函数为
G(s) 2K s(s 2)
系统闭环传递函数为
上式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数，一 般情况下开环传递函数写成零、极点形式为
m
(s z j )
G(s)H (s) K * j1 n (s pi ) i 1
（4-7）
闭环特征方程为
m
(s z j )
G(s)H (s) K *
j 1 n
1
(s pi )
i 1
（4-8）
上式中， ， z j ( j 1 ~ m) pi (i 1 ~ n) 分别为控制系统的
m
szj
K * j1
1
n
s pi
i 1
（4-11）
m
n
s z j s pi 2k 1
j 1
j 1
（4-12）
式中 k 0,1,2,
复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与 开环零、极点所组成的向量必须满足上式的模值 条件和相角条件。
从上式可以看出，根轨迹的模值增益条件与 根轨迹增益K*有关，而相角条件与K*无关。我们 说，相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要 条件，这就是说，绘制根轨迹时，可用相角条件 确定轨迹上的点，用模值条件确定根轨迹上该点 对应的K*值。
(s)
C(s) R(s)
s2
2K 2s
2K
闭环特征方程为
s2 2s 2K 0
（4-1） （4-2） （4-3）
闭环特征根为
s1 1 1 2K
s2 1 1 2K
上式表明，特征方程的根随着变量K的变化 而变化，如果令K从零变化到无穷，可以用解析 的方法求出闭环系统极点的全部数值，将这些数 值在s平面上标出，并用光滑的线连接，如图4.2 所示，图中的粗实线为根轨迹，箭头表示随着K 值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值为 代表与闭环极点位置相应的K值。
对图4.1所示的例子，在推导特征根和可调 参数之间的关系时，根轨迹可用解析法绘制。但 对于高阶系统，很难写出特征根与参数之间关系 的数学表达式。控制系统分析法的关键就是要有 一种简单、实用的根轨迹绘制方法，以便在特征 方程根的解析表达式不易写出时，利用根轨迹图 分析控制系统的性能。
4.1.2 根轨迹的条件
了解利用根轨迹估算阶跃响应的性能指标。 Nhomakorabea引言
设计磁盘驱动器系统可以练习如何进行折衷 和优化。磁盘驱动器必须保证磁头的精确位置， 并减小参数变化和外部振动对磁头定位造成的影 响。机械臂和支撑簧片将在外部振动的频率点上 产生共振。对驱动器产生的干扰包括物理振动， 磁盘转轴的磨损和摆动，以及元器件老化引起的 参数变化等。
4.2.1 等相角根轨迹的绘制规则
负反馈控制系统的典型结构图如图4.3所示。 其开环传递函数和根轨迹方程式分别如式（4-7） 和式（4-8）所示。当根轨迹增益K*大于零时， 根轨迹的幅值条件和相角条件分别如式（4-11） 和式（4-12）所示。这种情况下绘制的根轨迹称 为180°等相角根轨迹，下面讨论绘制180°等 相角根轨迹的基本规则。
令A(s)=s+4,B(s)=(s+1)(s+2)=s2+3s+2,则 A’(s)=1,B’(s)=2s+3。代入A’(s)B(s)-A(s)B’(s)=0 中，得s2+8s+10=0
解出上式的根为s1≈-1.55,s2≈-6.45。 根据规则2，根轨迹在实轴上的分布为[-∞,-4]和[2,-1]，从而可知s1是实轴上的分离点，s2是实轴 上的汇合点。
闭环系统传递函数如图4.3所示
R(s)
C(s) G(s)
H (s) 图4.3 闭环控制系统
闭环传递函数为
(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s)H (s)
（4-4）
特征方程为 或
1 G(s)H(s) 0 G(s)H (s) 1
（4-5） （4-6）
满足上式的s点均为闭环系统的特征根（闭环 极点），反过来，根轨迹上的所有点均必须满足 式上式。上述式子称为根轨迹的基本方程。
（2）系统的根轨迹有n-m=3条渐进线， 渐进线的倾斜角为
a
(2k 1)
nm
(2k 1)
30
取式中的k=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为
a
1 nm
n j 1
pj
m i 1
zi
(0 1 2) 3
1
三条渐近线如图4-13中的虚线所示。
（3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以 及－2点的左边，如图4-13中的粗实线所示。
第四章 根轨迹
本章教学目标与要求
掌握根轨迹的概念、根轨迹相角条件与模值条件，熟悉 根轨迹绘制法则，了解主导极点的概念。
熟练绘制以开环增益为变量的根轨迹（正反馈和负反 馈），了解参数根轨迹的含义。
了解控制系统性能与系统闭环传递函数零点、极点在与 s平面分布的密切关系。初步掌握根轨迹分析法在控制 系统分析与设计中的应用。
s(s 1)(s 2) K * 0
s3 3s 2 2s K * 0
劳斯列表为
s3
1
2
s2
3
K*
s1
6 K*
s0
K3*
由劳斯判据，系统稳定时K*的临界值为6。 相应于K*=6的频率可由辅助方程
3s2 K * 3s2 6 0 确定。
解之得根轨迹与虚轴的交点为 s j 2 。根 轨迹与虚轴交点处的频率为 2 1.41
4.1 根轨迹的基本概念
1948年，W.R.Evans根据反馈控制系统开、 闭环传递函数之间的内在联系，提出一种由系统 开环零、极点的分布确定闭环系统特征方程根的 图解方法——根轨迹法。这是一种由分析开环系 统零、极点在复平面上的分布出发，用图解表示 特征方程的根与开环系统某个或某几个参数之间 全部系统的方法。它不仅适用于单回路系统，而 且也可用于多回路系统。他已成为经典控制理论 的基本方法之一，在工程上得到广泛的应用。
K* 6
Imaginary Axis
Root Locus 4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-6
-5
-4
-3