x+ 因为 a
b - 4ac = . 2 4a
2
0, 所以 4a > 0, 当 b - 4a c> 0时, 得 x+ b # = 2a b # 2a b - 4a c , 2a b - 4a c , 2a
2 2
∃ %
图:
所以 得求根公式 x=
x= -
- b#
b - 4a c 2 b - 4ac& 0 . 2a
2 2 2 2
徐
骏
生有充分 的 自主 探 究的 时 间和 空 间, 学生 通 过 探 究尝 试、 讨论修正、 发现 完善, 加深 对公式 的 理解, 领悟 其基 本 思想与 基本方 法. 从 而培养 数学 思考、 数 学发现 意识 和能力, 培养学生自我学习和总结的能力. 2 让学生在操作中开展探究性学习 著名的心理学 家布 鲁纳 指出: ( 探索 是数 学的 生命 线. )同科学家发现知识一样, 初中 生在学习数学 的过程 中, 也应先提出各种猜想, 然 后手脑并 用进行 探究验证, 这样的学习才能高效, 真正成为学习的主人. 案例 2 探索三角形全等的条件. 笔者对教材作适度的延 伸和发展, 将相关的 学习内 容设计了 一 些探 究 性练 习, 给学 生 提 供自 主 探 究 的机 会. 问题 要画一个三角形 与已知三 角形全 等, 需要几 个与边或角的大小有关的条件呢? 只给出一个条件 (一条边Байду номын сангаас一个角 ) 画三角形, 判 断画出的三角形是否一定全等? ! 给出两个条件画三角 形, 判断画 出的三角 形是否 一定全等? ∀ 给出三个条件呢? 教学时教师 引导 学生 画图, 启发 学生 比 较, 提 倡学 生交流, 在条件由少到多的过程 中逐步 探究出最 后的结 论. 使学生练习的过程成为促进 学生学 习方式转 变的过 程.
b c x + = 0, a a b 2a b 2a
2 2 2
c = + a
2
b , 2a
2
! ∀
案例 3 多边形的内角和. 问题 1 大家知道三角 形的内 角和等 于 180∗ , 四边 形的内角和等于 360∗ , 那么五边形内角和你知道吗? 学生动手用 量角 器量、 用尺 子画 图, 在 独 立探 索的 基础上, 分组交流与研讨, 并 汇总解决 问题的 方法. 如下
问题 1 请你求一下该公司技术部门员 工一个月的 平均工资? 问题 2 你认为这个数据能反映一般技 术人员的工 资状况吗? 为什么? 生 1: 我认为可以, 因为 1900 元, 是 这几个 员工 的平
+ 教材教法 +
均数, 当然应用它来表示职工工资的一般水平.
( 2011 年第 1 期 + 初 中版 )
技术员工 总工程师 工程师 技术员 A 技术员 B 技术员 C 工资 5000 4000 1800 1700 1500 技术员工 技术员 D 技术员 E 技术员 F 技术员 G 见习技术员 H 工资 1200 1200 1200 1000 400
在教师指导下 进行 分类: 图 1 ~ 4 将五 边 形分 割成 三角形, 图 5将五边形分割成三角形和四边形, 图 6将五 边形分割成两个四边形, 但一个 四边形 又可以分 割成两 个三角形, 所以我们可以将五边 形分割 成三角形 来研究 它的内角和. 问题 2 同学们能否类似五边形的讨论 方法最终得 出, 六边形内角和是 720∗ , 十边形内角和是 1440∗ 呢? 问题 3 任意多边形的内角和是多少? 教师启发学生从三个角度思考: ( 1 )多边形内角和与三角形内角和的关系; ( 2 )多边形的边数与内角和的关系; ( 3) 从多边形一个顶点引的对角线分三 角形的个数 与多边形边数的关系. 3 在新旧知识的连结处开展探究性学习 单纯的数学知识往往比 较枯燥乏 味, 难以引 起学生 的学习兴趣. 能体现课程标准要 求的且 难度相当 的综合 性问 题, 往 往有利 于学 生去探 索和 研究, 并 且使得 探究 更有意义. 案例 4 一次函数的图象和性质. 师: 一次函数与正比例函数 的解析 式有那些 区别和 联系? 生 1: 一次函数 的 解析 式比 正比 例 函数 的解 析 式多 了常数项 b, 所以正比例函数是一次函数的特殊情况. 师: 一次函数的图象与正比 例函数 的图象有 哪些区 别和联系? b 对图象有哪些影 响? 能否找出 k, b 对于图 象影响的规律? 生 2: 一次函数的图象也是一条直线, 它与 y 轴的交点 的纵坐标是 b, 当 k 不变时, 它平行于函数 y = kx 的图象. 师: 请再参照研究正比例函 数的方 法研究一 次函数 图象的特点. 经过一 番紧 张 的 讨 论和 实 验 后, 学 生 争 相 举手 发
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数学问题, 体验发现的乐趣. 5 利用教材设置的一些栏目开展探究性学习 新教材通过设置大量的 ( 思考 )、 ( 探究 )、 和 ( 阅读 ) 等 栏目, 提 出恰当 的、 对 学生数 学思 维有适 度启发 的问 题, 引导学 生 的思 考 和 探 究活 动, 使 他们 经 历 观 察、 实 验、 猜想、 推理、 交流、 反思等 理性思维 的基本 过程, 切实 改变学生的学习方式. 要把教材 中的这 些栏目很 好地利 用起来, 充分发挥它的作用和功能. 案例 7 从勾股定理到 图形面积 关系 的拓展 ( 详见 浙教版八年级数学上册第 43 页阅读材料 ). 师: 先请同学 们阅 读课 本中 的材 料, 然 后 自己 画一 画图, 写一写证明过程, 有困难时可互相交流. 课堂讨论: 问题 1 课本 中当 图形 是正 方形 ( 正 三角 形 ) 时以 直角三角 形两 条直 角 边为 边 长的 两 个正 方 形 ( 正 三角 形 )的面积 之 和, 等 于以 斜边 为 边长 的正 方 形 ( 正 三角 形 )的面积是否成立? 问题 2 不妨试一试 是半圆 的时候 是否 成立? (当 时学生情绪十分高涨, 立刻画图动手证明 ) 问题 3 类似地其它图形是否成立? 问题 4 从而由勾股定理拓展到图形面 积关系文字 上可以怎样叙述? 在几位学生 叙述 后, 师 生一 起总 结出: 在 一个 直角 三 角形中, 在斜边 上所 画的任 何图 形的面 积, 等于 在两 条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和. 通过观察、 动 手实验, 学生始 终处 于 ( 再 发现 )的兴 奋 中, 既加 深对勾 股定 理的理 解, 又 能不断 从探究 问题 的进程中发现规律, 体验成功的喜悦. 总之, 探究问 题 (内容 ) 无处 不在. 只 要我 们做 有心 人, 可以将教 材中 的数 学公 式、 法 则、 性 质、 定 理及 公理 作为探究 问 题, 或 将 一题 多 解的 数 学 问题 作 为 探 究问 题, 或将有 规律可 循的 数学问 题作 为探究 问题, 或 将数 学 开放性 问题作 为探 究问题. 与此 同时, 还 应注重 选择 探 究问题 的难易 要适 当, 活动 所需 时间长 短要适 度, 探 究的时机要 适时, 探究 的方 向、 任 务、 目 的要 适中. 只有 这样, 才能使探究恰到好处.
( 收稿日期 : 20100927 )
生 2: 我认为不 可以, 因 为总 工 程师、 工 程师 工 资太 高, 他们的 工资把 整个 平均数 提高 了, 一般 员工最 高的 也只有 1800 元, 所以不能反映一般情况. 问题 3 你想选择哪个数据反映该公司 员工工资的 平均水平更合理呢? 生 3: 我认为用 1200元比较好, 因为这数据中有 3个 数据都是 1200 元. 生 4: 我认为如 果 将总 工程 师和 工 程师 及见 习 技术 员的数据去掉后再求平均数比较合理. 生 5: 这组数据按从小到 大顺序 排列后, 中间 两个数 据的平均数是 1350 元最合适. 生 6: 我认为如 果 将总 工程 师和 工 程师 的数 据 去掉 后, 其余 8人的平均工资为 1250元比较合理. 问题 4 请你写出另外的两个数. 即: 中位数和众数. 问题 5 作为一般 技术人 员, 若考 虑应聘该 公司技 术部门工作, 该如 何看 侍工 资情 况? 说说 你 的理 由, 请 小组交流、 讨论. 结论: 如果你 是一 名普 通技 术人 员, 你 可 根据 该部 门员工工资的中位数和众数来考虑是否应聘. 通过学生合 作交 流, 相 互完 善, 在 争论 中 体验 概念 的形成过程, 让学生认识到研究数据的必要性. 案例 6 等腰三角形内角的探究 问题 1 请同学们 交流讨 论这样一 个问题, 已知等 腰三角形的某个角等于 30∗ , 请你求出其余两角. 生 1: 其余两角是 30∗ 和 120∗ ; 生 2: 其余两个角 75∗ 和 75∗ . 问题 2 通过上面数学问题的讨论, 你 有什么体会? (用一句话表示 ) 上面两位学 生思 考和 解决 数学 问题 的过 程不 够周 全, 都犯了 以偏概 全的 错误, 这 也是 数学学 习中学 生的 通病. 教学中, 教师必须估计知识 方面的 缺陷和学 生的思 维心理障碍, 故设 ( 陷阱 ), 制造认知上的冲 突, 让学生产 生对问题和情境的困惑, 有的放 矢地选 编一些颇 具迷惑 性的题目, 诱使学生犯错. 充 分重视学 生的思 维过程, 从 反面或侧面引起他们的注意 和思考, 激 发学生自 觉探究
图 4 图 5 图 6
设置, 要考虑到知识的复杂 程度、 学生 的经历, 同 时兼顾 问题的梯度、 操作性、 开放 性、 拓展性 等. 只有 这样, 才能 引 发学生 积极思 考, 激 起学生 强烈 的探知 欲望, 进 而激 发他们探究新知识的积极性. 4 在学生认知冲突时开展探究性学习 在教学中, 要 充分 考虑 学生 已有 的知 识 水平, 以学 生现有的知识结构和思维水 平为基准 来考虑, 那 些和学 生的已有知识结构有一定的 联系, 但仅 凭已有的 知识又 不 能完全 解决的 问题, 最能激 发学 生的认 知冲突, 也最 具有启发性, 提 出贴 近学生 思维 ( 最近发 展区 )的问题, 容易促进学生有目的地进行探究. 每个学生都 有自 己的 经验, 由于 切入 角 度不 同, 所 以 理解方 式也不 尽相 同、 对这 些问 题进行 探究, 学 生能 够 获得不 同的情 感和 体会. 教 师对 学生引 导时, 不 要先 预设或暗示某种理解, 而应让学 生在充 分探究的 基础上 作出判断. 案例 5 中位数和众数的探究. 教师给出例题 (浙教版八年级上册第 78 页 ): 某工程咨询 公司 技术 部门 员工 一月 份的 工资 报表 如下 (单位: 元 )