浅谈二元函数极限不存在的判定摘要：求二元函数极限是高等数学的学习中的难点。

本文对利用点的领域、路径、聚点等判定二元函数极限不存在进行了简要地归纳总结，寻找出了一些规律。

关键词：高等数学，二元函数，极限，聚点，邻域，路径 1.理论依据1.1定义1：设f 为定义在2D ⊂ℜ上的二元函数,0P 为D 的一个聚点,A 是一 个确定的实数。

若对任给的正数ε,总存在某正数δ,使得当00(;)P U P D δ∈时,都有()f P ε-A <则称f 在D 上当0P P →时,以A 为极限,记作lim ()p p p Df P →∈=A (1)在对于P D ∈不致产生误解时,也可简单地写作lim ()p p f P →=A '(1)当0,p p 分别用坐标(,)x y ,00(,)x y 时, '(1)式也常写作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →=A (1)''1.2定义2：设函数(,)z f x y =在D 内有定义,000(,)P x y 是D 内的点, A 是一个确定的实数,如果0,0,εδ∀>∃>使得0(,)(,)P x y U P D δ∈⊂即满足不等式：0ρδ<<的一切点P ,都有：|(.)|f x y A ε-<成立,则称A 为(,)z f x y =在0P P →时的极限,记作0lim y y x x →→(,)f x y =A ,也记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=,或者0lim ()P Pf P A →=。

1.3 定理1：0lim ()p p p Df p A →∈=的充要条件是：对于D 的任一子集E ，只要0p 是E 的聚点，就有0lim ()p p p Ef p A →∈=。

1.4定理2：设E D ⊂,0P 是E 的聚点，若0lim ()P PP Ef P →∈不存在（包括非正常极限），则0lim ()P PP Df P →∈也不存在。

1.5定理3：设120,,D D D P ⊂是平面点集12,,D D D 的聚点,若存在极限001212lim (),lim ()P P P PP D P D f P A f P A →→∈∈==,但12,A A ≠则0lim ()P P P Df P →∈不存在。

1.6 定理 4：极限0lim ()p p p Df p →∈存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件0n p p ≠，且0lim n n p p →∞=的点列{}n p ，它所对应的函数列{}()n f p 都收敛。

依据定理2和定理3,可以选择沿一条特定的路径000(,)(,)P x y P x y →，函数(,)f x y 的极限不存在(包括非正常极限)，其中路径可以是定义集合内一条通过点0P 的连续曲线，也可以是以点0P 为极限的点列。

根据二元函数极限的几何意义，若函数(,)f x y 在点000(,)p x y 存在极限，则动点),(y x P 沿任意一条曲线(或点列)无限趋近于点000(,)p x y 时，函数(,)f x y 都存在极限，并且极限值是相同的。

选择沿两条不同的路径000(,)(,)P x y P x y →,使得函数(,)f x y 有不同的值。

其中路径可以根据函数而确定为直线或者曲线。

多数情况下,选择趋于点0P 的不同直线(包括坐标轴)和特殊的曲线。

由此可知，我们可以通过下列两条途径来判定(,)f x y 在点000(,)p x y 的极限不存在：(1)沿一条特定的路径(,)p x y →000(,)p x y ，函数(,)f x y 的极限不存在。

(2)沿两条不同的路径(,)p x y →000(,)p x y ，函数(,)f x y 的极限值不同。

这样一来，判定极限不存在的关键就转化为寻找恰当的路径。

下面，我们假定00(,)x y 为原点(0,0)O ，根据二元函数(,)f x y 的结构特点，提出可供选取的路径。

2.对于以下两种函数结构，可选取直线路径y kx =，(0)k ≠。

2.1不恒为常数的零次齐次函数不恒为常数的零次齐次函数,是指满足条件(,)f tx ty = (,)f x y ,且(,)f x y ≡/ C(C 为常数)的函数(,)f x y ,。

对于这类函数，由于当动点(,)p x y 沿定义域内的直线y kx=趋向于原点(0,0)O 时，有00limx y kx →=→(,)f x y =0lim x →(,)f x kx =(1,)()f k f k =而上式()f x )因k 不同而不同，所以()f k C ≡/这表明，函数(,)f x y ,当动点(,)p x y 沿不同直线趋于原点(0,0)O 时，极限值不同，所以极限不存在。

例1：验证(,)f x y=1232x y x +在点(0,0)O 极限不存在。

解：函数(,)f x y 为不恒为常数的零次齐次函数， 定义域D ：{(,)|0,0,x y x y ≥≥}但x,y 不同时为零，选取直线y kx =，有123002lim (,)limx x y kx x kx f x y x →→=→==，这说明，当动点沿直线y kx =趋向于原点时，由于k 不同，函数(,)f x y 将趋近于不同的常数，因而极限不存在。

另外曲线路径里面,比较典型的是沿着二次曲线路径使动点P 趋于定点0P ,使得函数解析式中出现无穷小的部分。

对于满足2(,)()()ay bf x y F cx d -=-的函数,讨论(,)(,)lim(,)d bx y c af x y →的时候, 可以考虑沿着路径：2()cx d b y a-+=使动点(,)P x y 趋于定点0P (,)d b c a。

例2：242(,)(2,1)(2)(1)lim 3(2)(1)x y x y x y →---+-,可以选择动点(,)P x y 沿着曲线2(2)1y k x =-+趋于0(2,1)P ,此时函数所趋于的常数值与k 有关系, 因而极限不存在。

2.2分子的次数不大于分母的次数的齐次有理分式函数 对于有理分式函数(,)(,)(,)P x y f x y Q x y =，其中(,),(,)P x y Q x y 分别是关于变量,x y 的m 次和n 次齐次多项式,而且m n ≤,此时计算二元函数极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →,可以选取动点(,)P x y 沿着直线而趋于(0,0)O 时有：00lim (,)x y kx f x y →=→=0()lim ()m n x P k x Q K -→⋅=()()P k Q K ，此极限的值随k 的变化而不同， 当m n <时，0()lim ()m nx P k xQ K -→⋅=01()lim ()n m x P k x Q K -→⋅，易知，在实数范围内至少存在一点0k R ∈，使0()0P k ≠，0()0Q k ≠。

于是当动点(,)P x y 在定义域内，沿直线0y k x =趋向于原点时，00()()P k Q k 是非零常数。

所以000lim (,)x y k x f x y →=→=000()1lim ()n m x P k Q k x -→⋅=∞，因而0lim (,)x y f x y →→不存在。

例3：验证0limx x yxy→+不存在。

解：函数(,)f x y =x yxy+为齐次有理分式函数，分子(,)P x y =y x +是一次齐次函数,符合m n ≤的条件,选取路径y kx =。

,有0lim (,)x y kx f x y →=→=0lim x x kxx kx→+⋅=011lim x k x k →+⋅，取0k =2,即当动点(,)p x y 沿定义域内的直线2y x = 趋向于(0,0)O 时,有00lim (,)x y kx f x y →=→=02lim 2x x xx x →+⋅=03lim 2x x → 所以,函数(,)f x y 在原点(0,0)O 的极限不存在。

例4：验证00lim sin x yx y e e xy →=-是否存在。

解：由0lim (,)x y xf x y →==20lim sin x xx y x e e x →=-=0； 02lim (,)x y x f x y →==2202lim sin 2x xx y x e e x →=-=∞，知00lim sin x yx y e e xy →=-不存在。

3.对于不恒为常数的广义零次齐次函数，可以选取曲线路径m ny kx=不恒为常数的广义零次齐次函数，是指满足条件(,)m m f t x t y =(,)f x y ,(m>0,n>0)的函数(,)f x y ,对于这类函数,若令1nt x -=,则有(,)f x y =(1,)m nf yx -当动点(,)p x y 沿曲线m ny kx= (x>0)趋于原点(0,0)O 时,有00lim (,)x y kx f x y →=→=00lim (1,)m nx y kx f y x-→=→⋅=0lim (1,)x f k →=()f k 。

显然 当k 改变时, ()f k 不是一个常数。

这表明(,)f x y 在原点(0,0)O 的极限不存在。

例5：讨论(,)f x y =22xyx y + 当(,)(0,0)x y →时是否存在极限。

解：当动点(,)p x y 沿直线y mx =趋于定点(0,0)时，由于此时(,)f x y =(,)f x mx =21mm+。

这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同因而所讨论的极限不存在。

例6：验证24200lim2x y x yx y →→+不存在。

解：函数(,)f x y =2422x yx y+的定义域D ： {}(,)|,,x y x R y R ∈∈但x,y 不同时为0，其中m=2，n=1，取2y kx =，有224200lim2x y kx x yx y →=→+=224220lim2()x x kx x kx →⋅+=22kk+，其结果与k 有关，因而24200lim2x y x yx y →→+不存在。

4.函数(,)f x y 含有“22x y +”，或(,)f x y 为齐次有理分式函数，可以先进行坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，0r ≤<+∞， πθπ-<≤，然后再根据相应的结构形式，选取不同的路径。

例7：验证220x y →→不存在。

解：作坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，22化为1cos r θ+（ⅰ）取路径0θθπ=≠，当0θθ=，0r +→时， 01cos rθ→+；（ⅱ）取路径()1cos r θθ=+，当θπ-→，0r +→时，11cos rθ→+，所以22x y →→不存在。