求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。
而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。
【1】 【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。
这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，212(3)3n n n n a a a a a a++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则1!lim!nk n k n =→∞∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。
【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。
1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x →12时函数y =21x x +的极限。
我们列出了当x →12时某些函数值，考察从列表可以看出，当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7，即x →2时，y =21x x +的极限是0.75。
2、利用四则运算法则求极限例2（1）求23321lim(4)x x x →-+（2）221lim 21x x x →-+解（2）221lim 21x x x →-+=222lim(1)3lim(21)5x x x x →→-=+3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求01lim sinx x x→ 解因为0lim x x →=0，且1sin1x ≤即1sin x 有界，所以01lim sin x x x→=04、利用两个重要极限求极限 例4 求11lim sinlim(1)x x x x x x→∞→∞- 解1lim sin x x x →∞=1sinlim 1x x x→∞=1（因为x →∞时10x→）。
令u x =-则当x →∞时u →∞所以1lim(1)x x x →∞-=111lim(1)lim 1(1)e x u u u ex-→∞→∞+==+也可以直接计算1lim(1)x x x →∞-=1111lim[(1)]x x e x e---→∞+==5、利用初等函数的连续性求极限 例5求2lim ln sin x x π→解：点02x π=是初等函数()lnsin f x x =的一个定义区间(0,)π内的点，所以2limln sin ln sin02xx x π→==6、利用等价无穷小代换求极限 例6 求01cos limln(12)x xx →-+解：当0x →时，211cos 2x x -≈，ln(12)2x x +≈ 所以20011cos 2limlim 0ln(12)2x x xx x x→→-==+ 7、利用罗比达法则求极限 例7 求0ln sin 2lim ln sin 3x xx+→解：0ln sin 2lim ln sin 3x x x +→=0cos 22sin 2lim cos33sin 3x xx xx+→⋅⋅=0sin 3cos 22lim 1sin 2cos33x x x x x +→⋅⋅= 8、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限232(0)()1(01)2(1)x x f x x x x x ⎧⎪+≤⎪=+<≤⎨⎪⎪>⎩求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →解：因为0lim ()x f x -→=0lim(32)2x x -→+= 0lim ()x f x +→=20lim(1)x x +→+=1 00lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠ 所以0lim ()x f x +→不存在 因为1lim ()2x f x →=1利用极限的定义来验证极限的存在极限定义并未给出求极限的具体方法,但却可以验证极限的存在,而且它是研究理论问题的基本方法,用极限定义验证极限存在,一般需经过变形放大,由n x A ε-<或()f x A ε-<去寻找满足条件的充分大的正整数 N 或充分小的正数δ或充分充分的正数 X 。
比如:证明2221lim44x x x →-=- 证明对0ε∀>，要使22144x x ε--<-，只要22214442x x x x ε---=<-+因为2x →，不妨设21x -<，此时13x <<，从而325x <+<，因此，22144x x ---242x x --+<111224312x x c ⨯---<,于是取min{}δε=，从而min{1,12}δε∃=，当02x δ<-<时，总有22144x x ---ε<，从而2221lim 44x x x →-=-2利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形)比如 求1x →此题要用到两个知识点①将分子有理化②分母分解因式解：1x →1x →==1112x →= 3利用极限运算法则和无穷小的性质求极限比如 求lim )x x →+∞-本题是“∞-∞”型的极限,先对分子有理化,可转化为∞∞型将分子分母同时除以 x 的最高次幂变形后求解。
解lim )x x →+∞=limxlimx=1lim2x =在无穷小量的诸多性质中,常用无穷小乘以有界变量仍为无穷小及用等价无穷小代换来求极限。
比如 求sin lim 2nx e n →∞+解 注意到sin ne ≤且1lim 02x n →∞=+所以由无穷小的性质得sin lim02n x e n →∞=+又比如求0x → 解 当0x →时，ln(1+，2arctan x ，2x所以0x →=513320lim 1x x xx →= 4.2重要极限21lim(1)xx e x→∞+=，101lim(1)x x e x →+=，01()lim(1())f x x x f x e →+=，0()1lim(1)()f x x x e f x →+= 特征:①“1 ”型;②底数中要转化为有“1”的形式;③ “1”的后面的变量与幂指数互为倒数。
比如 求21lim(cos )x x x →解21lim(cos )x x x →=21cos 1cos 10lim(1(cos 1))x x x x x --→+-=12e5利用极限存在准则(夹逼定理、单调有界原理)来求极限 5.1利用夹逼定理求极限比如 求222111lim ()11x n n n n n →∞++++++ 解 因为21nn +≤22111n k n ≤++，k =1，2，3n ，从而22n n n +≤222111()11n n n n n++++++≤221n n +而22lim 1x n n n →∞=+，22lim 11x n n →∞=+所以222111lim ()11x n n n n n→∞++++++ 5.2利用“单调有界数列必有极限”定理求极限特点:①能出现关系式;②可转化为关系式解题方法 :一是利用数学归纳法证有界,二是证单调。
比如 设111,2,),nx n +===试证数{}n x 列极限存在，并求此极限。
显然102x <=<，22x =<假设2n x <因12n x +=<=由数学归纳法知对n ∀,0<n x <2,又{n x }有界, n ∀ 0<n x <2,即{n x }有界,又10n n n x x x +-==>,则1n x + >n x ,所以{n x }单调增加。
因此lim n x x →∞存在。
不妨设lim n x x →∞=a ，由1n x +=得a =a =2即lim 2n x x →∞=6利用洛必达法则求极限 用洛必达法则时要注意: ①要注意洛必达法法则条件, ②有时要用多次洛必达法则,③无限次循环型号不能用洛必达法则,如0lim x xx xx e e e e --→-+,④每次用洛必达法则前,要先化简, ⑤x →0(或x →∞)时,极限中含有sin1x ,cos 1x(或sinx,cox)不能用洛必达法则。
⑥“0g ∞”,“∞-∞”,“1 ”,“0∞”,“0∞”,“00”型未定式,通过变形、通分、有理化分子、取对数等方式转化为“00”或“∞∞”未定式极限后再用洛必达法则。
比如求1lim 1ln xx ex e x x→--+解1lim1ln x x ex e x x →--+111()lim lim lim 1111x x x xx x x e e x e e e e xe e x x→→→----====---+7利用连续性求极限比如 求1ln(1)lim arctan x x e x→+解注意到()arctan f x x =在x=1处连续,所以1ln(1)lim arctan x x e x →+=1ln(1)4ln(1)arctan1e e π++= 8利用函数极限存在的充要条件求极限主要用来解决在求分段函数在分段点处的极限或某些特殊函数在一些点处的极限时,可用此方法。
如求11110limx x x xxe e e e→-+解11110lim x x x xxe e e e+→-+2201lim 11x x xe e+→-==+，1121121lim lim 11x x x x x xxxe e e e ee --→→--==-++，所以11110limx x x xxe e e e→-+不存在。
9利用导数求极限比如设'(0)1,(0)0f f ==求0()limx f x x→ 解0()limx f x x →=0()(0)lim 0x f x f x →--='(0)1f = 10利用泰勒公式求极限特点①“00”型;②1122()()()()f x g x f x g x --或22()()kx f x g x -或11()()k f x g x x -③用洛必达法则较复杂或根本不可能用。
解题的关键是展开到含nx 项,或相互抵消后的后一项。
比如求222012lim (cos )sin x x x x e x→+--解222012lim (cos )sin x x x x e x →+-=224424604241(10()228lim 0()0()243x x x x x x x x x x x →+-+-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦）（1-++）（-+）！！！444040()8lim 30()2x x x x x →+=-+=112- 11利用定积分和积分中值定理求极限 比如设n x 2)()n n +，(1,2,)n =，求lim n n x →∞解因为1ln ln(1)n i x n n==+∑所以11lim lim ln(1)n n n n i ix n n →∞→∞==+∑=10ln(1)2ln 21x dx +=-⎰12利用函数极限与数列极限关系求极限比如求21lim(sin )n n n n→∞解21lim(sin )n n n n→∞=210sin lim()x n x x +→=3sin sin 0sin lim (1)x x x x x x n x x x +-⋅-→-+=16e13利用级数收敛的必要条件求极限比如 求3!lim n n n n n →∞,考察级数13!n n i n n∞=∑,而1113(1)!33lim lim lim 1(1)3!(1)n n n n n n n n n n u n n u n n e n +++→∞→∞→∞+=⋅==++<1 由正项级数比值判别法知13!n n i n n∞=∑收敛,再由级数收敛的必要条件知3!lim n n n n n→∞=014利用幂级数的和函数求极限 比如 求1111lim(1)1!2!3!!n n →∞+++++由于01,(,)!nx n x e n ∞==-∞+∞∑ 当1x =时，1!n n ∞=∑=1e =e 因此1111lim(1)1!2!3!!n n →∞+++++=01!n n ∞=∑=1e =e 以上是求极限常用的一些方法,在求极限的过程中,先要用观察极限属于什么类型,才能去采取相应的方法。