5.3.1 波动方程求解
t t
x 0 a)初值问题
x
0
l
b)混合问题
对于初值问题，是已知t=0时，u与 依赖于x的函 u数形式，求解不同位置，不同时刻的u值。而 u是定义在
的二元函数，即上半平面的函数。
t
对于混合问题除初值外，还有边值。是已知0 初值t 及 x= 0,及 x =l 时x u依 赖 于t的函数，求解不同位置x，不同
微分方程的定解问题
离散系统的求解问题
5.2 离散化公式
将自变量在时间和空间上以一定的间隔进行离散化，则应变量就变成了这些离散变量的函数。
一阶偏导的离散化公式
u i n ,j,k u ( t,x ,y ,z ) t n t,x i x ,y j y ,z k z
一般采用欧拉公式表示
有时为了保证系统和稳定性， 对时间的差分往往采用向后公式
5.1 微分方程的求解思路
求微分方程数值解的一般步骤：
Step1区域剖分：首先按一定规则将整个定义域分成若干小块
Step2微分方程离散：构造离散点或片的函数值递推公式或方程
Step3初始、边界条件离散：根据递推公式，将初值或边界值离散化，补充方程，启动递推 运算
Step4 数值解计算：求解离散系统问题
偏微分方程数值解
1
本章要求
教学目的 教学要求
教学重点 教学难点
讲解： 偏微分方程离散格式及求解的一般过程
熟记 精通 探索 延伸
一阶及二阶偏微分方程的离散格式； 用EXCEL迭代对偏微分方程求解； 用两数组交替更新的办法进行编程求解； 对化学反应工程中物理场的模拟进行尝试。
各种偏微分方程的离散与求解 EXCEL 循环迭代问题
偏微分方程的分类
5.1 偏微分方程简介
2 u 2 u 2 u u u a ( ) x 2 b ( ) x y c ( ) y 2 d ( ) x e ( ) y f ( ) u g ( ) 0
线性微分方程 Linear partial differencial equation
un i , j,k
y t nt ,x ix ,y jy ,z k z
y
u
u u n
n
i , j,k 1
i , j,k
z t nt ,x ix ,y jy ,z k z
x
5.2 离散化公式 对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处理技术得到下面离散化计算公式：
2u t2
u n1 i , j,k
2
u
n i,
j
,k
( t )2
u n1 i , j,k
t nt ,x ix , y jy ,z kz
2u x 2
un i1, j,k2来自un i,j
,k
( x )2
un i1, j,k
t nt ,x ix , y jy ,z kz
2u y2
un i , j1,k
2
u
n i,
j
,
k
( y )2
un i1, j,k
二式相加得：
u k 1u kh u x kh 22 ! 2 x u 2 kO (h 3)
x2u2 uk1
2uk uk1 (x)2
5.3几种常见偏微分方程的离散化计算 1、 波动方程
当 合问该u题波u 。动t x2t方0u20程只a(提1x2(供t)初,)x2,u值u2ut 条xt件l0f时(，x称,2t((此)xt 方)) 程为波动方程uu的tx初其00值中问：(1题x(t，)),,二uut者xt均t0提供2时((tx称))为波动为为方初边程值值的条条件件混
时刻的u值。此时u是定义在
的带形区域上的二元函数。
5.3.1 波动方程求解
2u t2
a2
2u x 2
f (x,t)
u n1 i
u
t0
(
x
),
u t
t0
(x)
u
n i
u n1 i
τn
u
x0
1 ( t ), u
xl
2 (t )
x xi
方程离散化
uin1(2 u ti)n2uin1a2uin 1 ( 2u xin )2uin 1f(x,t)
u
uin , j,1kuin ,j,k
tt(n1)t,xix,yjy,zkz
t
u
u n1 i , j,k
un i , j,k
t t nt ,x ix ,y jy ,z k z
t
u
un i 1 , j,k
un i , j,k
x t nt ,x ix ,y jy ,z k z
x
u
un i , j 1 ,k
t nt ,x ix , y jy ,z kz
2u z2
un i , j,k 1
2
u
n i,
j
,
k
(z)2
un i , j,k 1
t nt ,x ix , y jy ,zkz
5.2 离散化公式推导
将uk+1在uk处按二阶泰勒式展开：
将uk-1在uk处按二u 阶k 泰 勒1式 展开u ：kh u x kh 22 ! 2 x u 2 kO (h 3)
b24ac0
双曲线方程 Hyperbolic
b2 4ac0
物理实际问题的归类：
b 波动方程(双曲型）一维弦振动模型：24ac0
热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
拉普拉斯方程（椭圆型）稳态静电场或稳态温度分布场）
2u t 2
2
2u x 2
u t
2u x 2
u2 2u x2 y2 0
(i1,2, ,m -1) (n1,2, )
整理可得：
边界条件 初始条件 离散化
u i n 1 a 2 ( ( x t ) ) 2 2 u i n 1 ( 2 2 a 2 ( ( x t ) ) 2 2 ) u i n a 2 ( ( x t ) ) 2 2 u i n 1 u i n 1 ( x ) 2 f ( x ,t )
特殊边界条件的引入与应用
5. 1 偏微分方程简介
偏微分方程
如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方 程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
在化工或化学动态模拟方程中，常常有一个自变量是时间，其它的自变量为空间位置。如果 只考虑一维空间，则只有两个自变量；如果考虑两维空间，则有3个自变量。 许多化工过程 均是通过对偏微分方程的求解进行工艺参数的确定或数值模拟。
拟线性微分方程 Quasilinear partial differencial equation
x, y
非线性微分方程 Nonlinear partial differencial equation
x,y,un1/x,y
x,y,un/x,y
5.1 偏微分方程简介
数学上的分类：
椭圆方程 Elliptic 抛物线方程 Parabolic