ｋ＋１
ｕｊ
－
１ ２
ｋ
ｋ
（ｕｊ－１
＋ｕｊ＋１
）
＋ａ
ｋ
ｕｊ＋１
ｋ
－ｕｊ－１
＝０
τ
２ｈ
（９）
（３）Ｌ－Ｗ（Ｌａｘ－Ｗｅｎｄｒｏｆｆ）格式的差分方程可以写为：
ｋ＋１
ｕｊ
ｋ
＝ｕｊ
－
ａτ ２ｈ
ｋ
（ｕｊ＋１
ｋ
－ｕｊ－１
）＋
ａ２τ２ ２ｈ２
ｋ
ｋｋ
（ｕｊ＋１ －２ｕｊ ＋ｕｊ－１ ）
（１０）
（４）Ｂｅａｍ－Ｗａｒｍｉｎｇ 格式的差分方程可以写为［４］：
第 ２８ 卷 第 ９ 期（下） ２０１２ 年 ９ 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ． ２８ Ｎｏ． ９ Ｓｅｐ． ２０１２
偏微分方程数值解法的研究
王海林，徐 珊，宋论兵，高全归
存在如下关系［３］：
ｋ
鄣 鄣 ｕ（ｘｊ，ｔｋ＋１）－ｕ（ｘｊ，ｔｋ） ＝ τ
鄣ｕ 鄣ｔ
＋Ｏ（τ）
ｊ
（４）
ｋ
鄣 鄣 ｕ（ｘｊ＋１，ｔｋ）－ｕ（ｘｊ，ｔｋ） ｈ
＝
鄣ｕ 鄣ｘ
＋Ｏ（ｈ）
ｊ
（５）
ｋ
ｋ
在此记［ｕ］ｊ ＝ｕ（ｘｊ，ｔｋ），ｕｊ 表示 ｕ（ｘｊ，ｔｋ）的近似值，这样就可以
用差商代替（１）式中的微商，即可以得到相应的差分方程，
（２）
ｕ（－ｌ，ｔ）＝ｕ（ｌ，ｔ）＝０ ｔ∈［０，Ｔ］
（３）
要利用数值方法求解上述定解问题，首先需要对定解
区域离散化，用平行直线族 ｘｊ＝ｊｈ，ｔｋ＝ｋτ，把区域 Ｄ 划分成若
干个小矩形，其中 ｈ，τ 称为空间步长和时间步长，ｈτ 称为网
格比（如果为二阶的网格比可表为
τ ｈ２
等）．接下来对微分方
程离散化，由泰勒级数展开可知，在接点（ｊ，ｋ）处微商和差商
业 出 版 社 ,2004. 〔2〕徐长发,李红.偏微分方程数值解法[M].武 汉:华 中 科 技 大
学 出 版 社 ,2000. 〔3〕陆金甫,关治.偏微分方程数值解法[M].北 京:清 华 大 学 出
版 社 ,2004. 〔4〕LeVeque R J. Numerical Methods for Conservation
－１－
图 ３ Ｌ－Ｆ 格式
图１
其中实线代表网格比为
τ ｈ
＝１．１，
虚线代表网格比为
τ ｈ
＝０．９，点线代表网格比为
τ ｈ
＝１．０
由上面的计算可知网格比会影响方程数值解的稳定性．
这里只是直观的给出方程数值解的稳定性的状况．数值解的
稳定性的分析可以采用 Ｆｏｕｒｉｅｒ 方法，Ｈｉｒｔ 启示性方法，能量
有时候也称为差分格式：
ｋ＋１ ｋ
ｋ
ｋ
ｕｊ －ｕｊ ＋ａ ｕｊ＋１ －ｕｊ ＝０
τ
ｈ
（６）
最后将边界条件和初始条件离散化后就可以做数值计
算了．
2 网格比对偏微分方程数值解的稳定性影响
为了计算方便，取方程（１）中的 ａ＝１，这样方程（１）对应
的差分方程可以写为：
ｋ＋１ ｋ
ｋ
ｋ
ｕｊ －ｕｊ ＋ ｕｊ＋１ －ｕ下的偏微分方程数值解
对于不同的差分格式下的偏微分方程的数值解依然采
用方程（１），分别采用下面的四种差分格式做差分：
（１）迎风格式的差分方程可以写为：
ｋ＋１ ｋ
ｋｋ
ｕｊ
－ｕｊ τ
＋ａ
ｕｊ
－ｕｊ－１ ｈ
＝０
（８）
（２）Ｌ－Ｆ（Ｌａｘ－Ｆｒｉｅｄｒｉｃｈｓ）格式的差分方程可以写为：
图 ４ Ｌ－Ｗ 格式
图 ５ Ｂｅａｍ－Ｗａｒｍｉｎｇ 格式 图 ４，图 ５ 出现了震荡，图 ２，图 ３ 比较平滑，这是由于差分 格式不同所导致的． 4 结论与讨论
从上面的计算可知，运用有限差分法求解偏微分方程， 网格比会对方程的解的稳定性存在影响．而不同的差分格式 会使得方程的解存在微小差异，并且其稳定状况也不一样， 因而，在解决实际问题的过程中，求解偏微分方程的需要注 意选择合适的网格比及适当的差分方法，这样对于偏微分 方程的求解是有帮助的． — ——— — —— —— —— —— —— —— —— 参考文献： 〔1〕周 煦.计 算 机 数 值 计 算 方 法 及 程 序 设 计[M].北 京:机 械 工
ｋ＋１
ｕｊ
ｋ
＝ｕｊ
－ａ
τ ｈ
ｋ
（ｕｊ
ｋ
－ｕｊ－１
）－
ａτ ２ｈ
ｋ
ｋ
ｋ
（ｕｊ －２ｕｊ－１ ＋ｕｊ－２ ）
（１１）
图 ２ 迎风格式
图 ２、图 ３、图 ４、图 ５ 分别为上述四种差分格式对应的
数值解的函数图象．计算过程中取
ｈ＝０．０１，网格比取
τ ｈ
＝０．５，
上图为对时间计算 １００ 步后所得到的函数图象，由图可知，
τ
ｈ
（７）
鄣１， ｘ≤０
取函数 φ（ｘ）＝
，对上述定解问题进行数值解，
０， ｘ＞０
分别取网格比为
τ ｈ
＝１．１，ｈτ
＝１．０，ｈτ
＝０．９，可得如图 １ 的函
数图象．
由图可见，当网格比为
τ ｈ
＝１．１ 时方程的解不稳定，网格
比为
τ ｈ
＝０．９
和
τ ｈ
＝１．０ 时方程的解相对比较稳定．
基 金 项 目 ：玉 溪 师 范 学 院 大 学 生 创 新 性 实 验 计 划 项 目 （2011B17）
计算问题的方法，为了解决一些复杂的计算问题，数值计算
方法便出现了．而偏微分方程的数值解是其中一个非常重要
的分支，例如要准确预测天气的变化情况，就要求解成千上
万个偏微分方程组［１］，人工求解是很不现实的，因而，偏微分
方程的数值解就显得相当重要了．偏微分方程的数值解法主
要有三种，有限差分法，变分法，有限元方法，使用最普遍的
是有限差分法．而有限差分法在求解偏微分方程的时候会存
在不稳定性，所以，需要分析有限差分法求解偏微分方程的
稳定性，差分方程的稳定性是指研究差分方程在右端自由
项无误差的情况下，初值干扰对差分方程解的影响，它反映
了差分解是否连续依赖于初值的情形［２］，有限差分法又存在
很多种差分格式．本文将从两个方面讨论偏微分方程的数值
Laws. Basel: Birkhauser Verlag, 1990.
－２－
随着科学技术和社会的发展，大量复杂的计算问题不
断出现在人们面前．在计算机没有问世之前，为了解决某些
复杂的计算问题，不少科学家献出了大半生，甚至毕生的精
力，１８６７ 年法国天文学家达拉姆尼（Ｄａｌａｍｎｙ）花了整整 ２０
年的时间，求解了一个天体运动的摄动级数展开式［１］．但这并
不是解决复杂问题的好方法，于是人们开始研究解决复杂
解法．本文的第一部分将对有限差分法做个简单介绍，第二
部分将给出网格比对稳定性的影响，第三部分将给出具体
的差分格式对数值解的影响，第四部分内容为本文的结论
与讨论．
1 有限差分法简介
考虑偏微分方程中最简单的一维对流方程的初边值问
题：
鄣ｕ 鄣ｘ
＋ａ
鄣ｕ 鄣ｘ
＝０
（ｘ，ｔ）∈Ｄ
（１）
ｕ（ｘ，０）＝φ（ｘ）
ｘ∈（－ｌ，ｌ）
（玉溪师范学院 物理系，云南 玉溪 ６５３１００）
摘 要：本文将从两个方面来讨论偏微分方程的数值解法，其一为网格比对数值解法的影响，其二为不同差分格式对偏 微分方程数值解法的影响，这两个方面都会影响偏微分方程数值解的结果．
关键词：偏 微 分 方 程 ；数 值 解 ；稳 定 性 中图分类号：Ｏ１７５．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－ ２６０Ｘ（２０１２）０９－ ０００１－ ０２