空气质量的排名
轻
轻
中
重
优
良
微 污
度
度
污
污
污 染
染
染
染
城市 A
城市 B
城市 C
城市 D
2、给出空气质量一级，二级，三级两两成对比较的判断矩阵 P
污染级别
一级
二级
三级
1
2
3
根据上图得出如下例两两成对比较的判断矩阵 P
一级
二级
三级
权重
一级
１
1/2
1/3
0.500
二级
2
１
2/3
0.333
三级
3
3/2
１
0.167
（2）分析城市 A 的空气质量(指 SO2 、 NO2 、PM10 的浓度)与气象参数之间的关系， 并利用附件二中的数据进行检验。
二、基本假设
1、题目所给的四个城市的污染物含量及城市 A 的气象参数等数据都准确可靠。 2、根据内地空气污染指数（API）来划分为５个等级：API 值小于等于 50，空气质量为 优，相当于国家空气质量一级标准；API 值大于 50 且小于等于 100，表明空气质量良好， 相当于达到国家质量二级标准；API 值大于 100 且小于等于 200，表明空气质量为轻度 污染，相当于国家空气质量三级标准；API 值大于 200 表明空气质量差，称之为中度污 染，为国家空气质量四级标准；API 大于 300 表明空气质量极差，已严重污染。
A
0.115
0.350
0.000
0.1374
B
0.219
0.276
0.000
0.1301
C
0.500
0.057
0.000
0.1028
D
0.167
0.317
1.000
0.6298
根据4个城市的总权重值进行从小到大依次排序，空气污染严重程度的排名如下： C、B、A、D
5.1.4 问题二结果的分析及验证
总的一致性检验： CR = 0.167× 0 + 0.333× 0 +0.500× 0 = 0 << 0.1。此结果说明排序结有非常满意 的一致性。
b2
b
当 h b 时，由椭圆对称性，A 中的 h 用 2b h 代替得到： 所以油液质量 M 为：
（2）光的反射定律（本题 10 分）
费马原理：光总是沿用时最短的光程传播。试根据这一原理利用极值的有关知识证 明光的反射定律：入射角等于反射角。
解：由于光在同一介质中的速度为常数，所以在同一介质中光总是沿直线传播。 如图 3，现假设有两种介质 1、2 相接，光线在介质 1 中的传播速度为 v,取两介质 的分界线上的一条直线为 X 轴，设有一束光线从介质 1 中的 A(0, a) 点经 X 轴上的 P(x,0)
学生数学建模竞赛第一次预选赛
一、（必做题）
（1）油罐的体积（本题 10 分）
一平放的椭圆柱体形状的油罐，长度为 L，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b，油的密 度为ρ，问当油罐中油的高度为 h 时油量是多少？
解：由题意可话画出画出几何图形如图 1 所示
2b
h
2a
L
图 1.1
x a cost
椭圆方程为
矩阵，和空气质量一级，二级，三级两两成对比较的判断矩阵 P 相乘，结果便得到 4 个 城市的权重值。根据上述问题的分析中的假设可知，权重值越大，表明空气污染情况越 严重。因此，将 4 个城市的权重值,按照从小到大依次排序，得出的结果便是 4 个城市 的空气污染严重程度的排名。
最终结果如下表所示:
优（0.167） 良（0.333） 轻微污染（0.500） 总权重
y
bsin t
如图
2，设阴影部分面积为
S/2，则油桶的底面积为
S。
Y
b b-h
a
X
图2
下面将会利用mathematics 5.0软件进行求解,求解的程序如下： Integrate[2*a*b*Cos[t]^2,{t,ArcSin[1-h/b],Pi/2}]
解得结果为： S a( (2b h)h (b h) b arccos(1 h))
问题（1）：通过对问题（1）问题的分析，得出了这是一个比较典型的层次模型，目 标层是空气质量的排名，因素是三种污染物的浓度情况，对象是题目给出的 4 个城市。 查找资料后，我找到了一个非常关键的东西——空气污染指数的计算方法，于是利用 C 语言的编程知识我很快求出了这些城市的污染情况，结合层次模型的相关知识，建立层 次模型后很快得到了我们所期望的答案：总权重：A-0.1374,B-0.1301，C-0.1028， D-0.6298.于是城市环境排名也就解决了，由优到劣的排名情况：C、B、A、D。而且层 次的模型的一次性检验也顺利通过。
要对 A、B、C、D 四个城市的空气质量进行排序，可从题目的要求中获知利用污染 物浓度来进行四个城市的排名。经过分析和查阅相关资料，这个问题应该属于典型的层 次模型的运用。下面将层次模型的相关内容说明如下：
(1) 最大特征值λ(max) 的MATLAB计算方法：[V,D]=eig(A),其中A为待计算特征值的
问题（2）：问题（2）要求我们找出空气质量与气象因素之间的关系，一开始查阅了 很多资料，本想借助灰色预测模型进行求解，可是灰色预测模型的使用条件和咱们这个 题目的要求似乎没有什么关联，后来在网上浏览一片文章的时候，我找到了问题的突破 口，便是利用多元回归预测模型进行求解。然后根据这个模型的所要的处理数据，利用 MATLAB、Excel 等工具，求解到本题的回归系数。得到了三种污染物与气象因子之间的 关系：
是很让人满意的，回归模型的拟合度还是很高的。 关键词：层次模型 多元线性回归预测模型 空气污染指数
问题提出
大气污染预报问题
大气是指包围在地球外围的空气层，是地球自然环境的重要组成部分之一。人类生 活在大气里，洁净大气是人类赖于生存的必要条件。一个人在五个星期内不吃饭或 5 天 内不喝水，尚能维持生命，但超过 5 分钟不呼吸空气，便会死亡。随着地球上人口的急 剧增加，人类经济增长的急速增大，地球上的大气污染日趋严重，其影响也日趋深刻， 如由于一些有害气体的大量排放，不仅造成局部地区大气的污染，而且影响到全球性的 气候变化。因此，加强大气质量的监测和预报是非常必要。目前对大气质量的监测主要 是监测大气中 SO2 、 NO2 、悬浮颗粒物（主要为 PM10）等的浓度。
三、符号说明
符号 λ(max)
意义 对角矩阵的最大特征值
备注
n
矩阵的阶数
CI
层次模型的一致性指标
CI=(λ-n)/(n-1)
RI
随即一致性指标
CR
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一次性比率
p
大气压强的数值
单位：mmhg
t
温度的数值
℃
f
空气湿度的数值
v
风速的数值
m/s
F
F 检验统计量
R2
预测模型的复相关系数
四、问题分析
1、问题（1）的分析：
空气质量“轻微污染”级对 3 个城市的不同权重表
城市
A
B
C
D
权重 0.000 0.000 0.000 1.000
由表中数据，计算可知：λ(max) = 1.00 ，CI = 0.00，RI = 0.00 ，CR = 0.00 < 0.1
由于其他的污染指数均为零，在这里不再考虑了。
5.1.3 问题一模型的求解 进行层次总排序，方法： 将上面 3 个空气质量等级对 4 个城市的不同权重表单位化后作为列向量构成 4×3
结论显示城市C的空气质量状况最好，而D的空气质量状况最差。而且我们把A和D做 个比较可以看出：虽然D的“优级”天数比A还多，但是由于D出现了两个轻度污染而造 成D的污染权重显着增加。
在这里我们利用了 C 语言的相关知识求解出了这 55 天中各个城市的空气污染指数： 四个城市的空气污染指数统计（单位：天）
优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重污染
A
11 43
0
0
0
0
B
21 34
0
0
0
0
C
48 7
0
0
0
0
D
16 37
2
0
0
0
根据表中数据，类比（2）中方法，计算出各种不同污染等级对不同城市的权重
点反射，并沿直线方向行进到 B(d,b) 点。设直线 AP 与 X 轴法线的夹角为1 ，PB 直线与 X 轴法线的夹角为 2 ，下面，根据最短时间效应来推导出光学中的反射定理。
P
Y
A B（d,b）
0
P
X
图三 光线由 A 点传到 P 点所需的时间为: 光线由 P 点传到 B 点所需的时间为: 故光线由 A 传到 B 所需的总时间为： 根据费马定理，最短时间效应对应的优化问题为：
A
B
C
D
权重
A
1
11/21
11/48
11/16
0.115
B
21/11
1
21/48
21/16
0.219
C
48/11
48/21
1
48/16
0.500
D
16/11
16/39
16/48
1
0.167
由表中数据， 计算可知:λ(max) = 4.00 , CI = 0.00 ,RI = 0.90 ，CR = 0.00 <0.1
由表中数据, 计算可知：λ(max) = 3.00 ，CI = 0.00 ，RI = 0.58 ，CR = 0.00 < 0.1。