几种初等函数的本质和定义以及标准方程的推导证明
一、几种初等函数的本质
平面上一动点M 到一定点的距离为MF ，到一定直线的距离为MN ，
MN
MF
=e 。
当0＜e ＜1时，M 的轨迹为椭圆 当e ＞1时，M 的轨迹为双曲线 当e=1时，M 的轨迹为抛物线
双曲线的一般定义：
平面内到两定点1F ，2F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。
即a MF MF 221=- 当2a ﹥2c 时，轨迹不存在， 当2a=2c 时，轨迹是两条射线， 当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线。
椭圆的一般定义：
平面内到两定点1F ，2F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆。
即a MF MF 221=+ 当2a ﹥2c 时，轨迹是椭圆， 当2a=2c 时，轨迹是一条线段21F F ， 当2a ﹤2c 时，轨迹不存在。
二、抛物线
准线
抛物线是动点到定点和定直线的距离相等的图形。
如图，M 为一动点，F 为一定点，N 为M 到定直线L 上的垂线MN 的垂足N 。
直线L 叫做抛物线的准线，定点F 叫做抛物线的焦点。
如图在抛物线的定点建立直角坐标系。
当M 位于顶点时FN=FM+MN ，因为FM=MN 所以当令FN=P 时
MN FM =2P 。
由以上得F （0,2
P
）,准线L 的方程为 y=－2p 。
由抛物线的定义可得点M 的方程2p y x 2p 2
2
+=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-y ，化简后得抛物
线的标准方程：py x 22
=。
抛物的标准方程有如下几种形式：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≥=>±=→⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≥=>±=→0;2:0;2:0;20
;2:0;2:0;222
22
2
2
y py x y py x p py x x px y x px y p px y 开口向下开口向上上下型开口向左开口向右左右型抛物线的标准方程
三、椭圆
动点M （x ，y ），定点F （c ，0）或者（-c ，0），定直线x=c a 2，离心率e=a
c。
动点M （x ，y ）⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==⊂a c d MF M P 。
由集合内的公式得
()x c
a y c x -+-2
2
2=
a
c
,将上式两边平方化简后得到：(
)
(
)2
22
2222
2c
a a y a x c a -=+-。
设222
b c a
=-，此时
原方程可化为：)0(122
22>>=+b a b y a x 或者当焦点位于Y 轴上时：
)0(12
2
22>>=+b a b x a y 。
此方程即为椭圆的标准方程，动点M 的轨迹为长半轴a 短半轴为b 的椭圆。
四、双曲线
根据双曲线的一般定义:
设c F F 221=，)0,(1c F -、)0,(2c F 。
设M 是一动点。
a MF MF 221±=- 由图知： ()221y c x MF ++=
()222
y c x MF +-=
∴
()22y c x ++-()22y c x +-=a 2±
移项得：22)(y c x ++22)(2y c x a +-+±=
平方得：222)()(y c x a cx a +-=-± （*） 再平方得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-
即)()(22222222a c a y a x a c -=--，令)0(222>>-=b c a c b
则2
2
2
2
2
2
b a y a x b =-，即122
22=-b
y a x
反之：设M 是12222=-b y a x 上的点，则)1(22
22-=a
x b y ， a a cx a cx x a
c a
x b b c cx x y c x MF +=++=
+-++=
++=2
22
222
222
2
2
2122)(
222)(y c x MF +-==
a a
cx
-，x a c a ≤<, ∴当
a
x ≥时，
a a
cx MF +=
1 ，
a a
cx MF -=
2，有
a a a
cx
a a cx MF MF 221=+-+=
-； 当a x -≤时，a
a
cx
MF --=1，
a a
cx
MF +-
=2，有
a a a cx
a a cx MF MF 221-=-+--=-
综上：焦点在x 轴上双曲线的标准方程是122
22=-b y a x ①，其中
)0(222>>+=a c b a c ，焦点)0,(F )0,(21c c F 、-.
焦点是F 1(0，－c)、F 2(0，c)时，a 、b 的意义同上，那么只要将方程①的x 、y 互换，就可以得到焦点在y 轴上双曲线的标准方程
是122
22=-b
x a y ，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点),0(F ),0(21c c F 、- 将方程推导过程中的方程（*）做变形可得()
c
a x a c y c x 2
2
2
-=+-，
即
()a
c c
a x y c x =
-
+-22
2，且1>a c。
其几何意义是双曲线上的点满足到定点)0,(F 2c 的距离与到定直线
c
a x 2
=的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲线的一个几何性质.反之，如果一个点),(y x P 满足
()a
c c
a x y c x =
-
+-22
2，且1>a c
，即点P 到定
点)0,(F 2c 的距离与到定直线c
a x 2
=的距离之比是一个大于1的常数，
则点P 的轨迹是双曲线。