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3.2 不存在资本的模型 1) 知识积累的动力系统 当经济中没有资本时，两个生产函数变为： Y(t)=A(t)(1-a L )L(t)
A(t ) = B[aL L(t )]γ A(t )θ
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A 的增长率为 g A ，那么 A(t ) = g A (t ) ≡ B[aL L(t )]γ A(t )θ −1 A(t ) g A 的增长率为

模型表明，人均产出增长率是人口增长率的递增函数。 【回忆：在 索洛模型中，n 增加，人均产出水平降低但是增长率不变】 这一点似乎有点令人迷惑：实际中，人口增长较快的国家，其 人均产出的增长率平均而言不是更高。 但是，如果将模型看作是一个世界范围的经济增长模型，那么
这一结果就是合理的。较高的世界人口增长才会提高世界范围 的收入增长率：人口越多，做出新发现的人就越多。 尽管人口增长率影响长期增长，但是劳动力中处于研究开发的人员 比例 aL 则不然。这是 θ < 1 时， aL 的增加对 A 的影响具有水平效应 但是没有增长效应。
情形 2: θ > 1. 对应情形：新知识的生产超过了已有知识存量的某个比例。 解释如下：由生产函数 A(t ) = B[aL L(t )]γ A(t )θ 有
A = B[aL L(t )]γ A(t )θ −1 > B[aL L(t )]γ , when θ > 1 A
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当θ > 1 时，由 有如下图形：
φ<1 因此，模型的动力系统类似于无资本模型情形模型。 当φ<1时，经济的长期增长率是人口增长率 n 的函数。 当φ>1时，有一个爆炸性的增长。 当φ=1时，若 n>0，有一个爆炸性的增长；若 n=0，有一个稳定增长。
Y=AK 模型： 以上模型中取：φ=1and n=0。 生产函数为： 资本的动力系统为：
其中 因此，g A 的增长率为
如下图。
注意： 在产品的生产函数中，资本和知识两种内生要素是规模报酬不变 的。因此，资本和知识的规模报酬是否递增，取决于其在知识的生 产中，是否规模报酬递增。 由知识的生产函数 可知这取决于β+θ是否小于1。
情形 1: β+θ<1 A = 0 线比 g K = 0 线陡峭。如图。 当 β + θ < 1 时，有 (1 − θ ) / β > 1 ，即 g
A(t)=BK(t)φ,B>0, φ>0 合并有 Y(t)=K(t)α B1−α K(t)φ( 1−α) L(t)1−α (t ) = sY (t ) , 有 由于 dK/dt= K dK/dt=s K(t)α B1−α K(t)φ( 1−α ) L(t)1−α g K =(dK/dt)/K=s B1−α K(t) α+φ( 1−α)−1 L(t)1−α (dg K /dt)/g K =[ α+φ( 1−α)−1] g K +(1−α)n dg K /dt=[ α+φ( 1−α)−1] g K g K +(1−α)ng K α+φ( 1−α)−1<0 φ( 1−α)<1− α
第 3 章、新增长理论
第 1 章和第 2 章的增长模型还存在问题： 资本积累不能解释长期增长中的大部分 不能解释国家之间收入差异的大部分 人均产出的增长率唯一的取决于劳动效率 A，是外生的，其含义不 清楚。 本章将表明： A 部分的研究与开发模型：知识积累可能是世界范围内增长的核心 因素，但可能不是国家之间收入差异的核心因素 B 部分：国家之间的收入差异可能来源于实物资本和人力资本的差 异
厂商 i 的生产函数为： φ=1A(t)=BK(t) 因此， 要素市场是竞争性的，因此资本和劳动力都获得其私人边际产出：
由于在均衡中，所有厂商的资本的边际产出必须相同，因而上式表明 K i /Li 都相同，因此有 K i /Li =K/L。由于没有折旧，所以资本的边际产出 一定等于实际利率。合并以上事实，得到
影响分配资源发展知识的主要力量： 对基础科学研究的支持 研发和创新的私人激励 人才可选择的机会 干中学（Learning-by-Doing）
（1）对基础科学研究的支持 （2）研发和创新的私人激励 （3）人才可选择的机会 （4）干中学（Learning-by-Doing） 干中学：有的知识积累不是源于刻意的努力，而是传统经济活动的 副产品。 个人在制造产品时， 他无疑会考虑生产过程的改进方法。 例子： 每多制造一架飞机所需要的时间在减少，而这没有发生明显的技术进 步。 【例子：中国造原子弹的时间】 模型： Y(t)=K(t)α[A(t)L(t)]1−α

曼昆版《中级宏观经济学》的解释：Y=AK，没有给出微观基础， 直接将资本解释为广义资本，因此资本的边际收益没有出现递减。
3.5 知识积累模型中的内生储蓄：一个例子 将储蓄内生化很困难，所以在干中学模型的简单情形中(φ=1, n=0) 增加家庭。 人口无增长，假定每个家庭恰好有一个成员。代表性家庭的效用函 数为：
A = {B[aL L(t )]γ } A
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当θ=1 时， 方程 g A (t ) = B[aL L(t )]γ A(t )θ −1 和 为：
分别简化
当 n&gn=0 或者 γ =0 ，无论经济初始情况如何，都会立即表现为稳定增长， 知识、产出和人均产出的增长率都为 g A =B[aL L]γ 。在这种情况下，aL 影 响经济的长期增长率。
A 部分: 研究与开发模型 3.1 假定 存在两个生产部门： 生产产品的部门（goods-producing sector） ，生产函数为： 生产新思想的研发部门（R&D sector） ，生产函数为： 注意：因为对一种思想和知识在一个场合的使用不会妨碍其在别的 场合的使用，所以两个部门都使用全部的知识 A。 与索洛模型一样，储蓄率是外生且不变的。此外，为了简便，资本折旧 率为 0。因此， K (t ) = sY (t ) 。人口的运动方程为： = L(t ) nL(t ), n ≥ 0
A(t ) 由 g A (t ) ≡ = B[aL L(t )]γ A(t )θ −1 ，有 A(t )
aL ⇒ g A
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并由 有：
gA ⇒ g
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因此， aL 的增加导致 A 所遵循的新旧路径之间的缺口不断加大。如下 图。
d ln A 1 dA A = = = g* 其中 lnA 的斜率为： A dt A dt A
A > {B[aL L(t )]γ } A
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经济增长发散的解释：新知识的生产超过了已有知识存量的某个比例。 知识在新知识的生产中是如此有用， 以至于知识水平的每一边际增加所 产生的新知识之多，使得知识的增长率上升而非下降。因此，一旦开始 知识积累，那么经济就进入了一条增长率不断提高的路径。
劳动力中参与研究和开发的人员比例的增加所带来的影响是十分 显著的：
A(t ) 方程 g A (t ) ≡ = B[aL L(t )]γ A(t )θ −1 表明， aL 非连续增加时， A(t )
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g A (t ) 也非连续增加，因此 g A (t ) > g * A 。由 Fig 3.1 可知， g A (t ) 会 返回 g * A。 数学推导的背后直觉： θ < 1 时，生产函数表明知识对新知识生 产的贡献相当有限，知识增长率的增加是不可持续的。
3.3 一般情形：重新引入资本 （1）知识和资本的动力系统 现在有两个内生变量：资本和知识。 由： K (t ) = sY (t ) 和
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有： 除以 K(t)，得到
此处
g g K 的增长率为： K = (1 − α )( g A + n − g K ) gK
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下面求 A 的动力系统。 由 ，有
Y=AK 模型： 线性内生增长模型：本节模型和第 3.4 节模型。 内生要素规模报酬的重要性： 上述三种情形具有不同含义的原因是， θ 小于 1、大于 1 或等于 1 决定 了生产的内生要素的规模报酬递减、递增或不变。 由于劳动的增长是外生的，并且模型中没有资本，所以知识是唯一 的内生要素。 在产品生产中，知识是规模报酬不变的。 因此，知识的规模报酬是否递增取决于知识生产中知识的规模报酬 的情形，即取决于 θ 。

资本的增长率为 sb，现在内生的，并且取决于储蓄率 s。 本书的解释：资本的贡献大于其传统的贡献：增加的资本不仅通过 其对生产的直接贡献来提高产出，而且通过对思想生产的间接贡献 从而使所有其他资本更有生产率来提高产出。分别为生产函数中的 红色部分和蓝色部分：Y(t)=K(t)αB1−α K(t)φ( 1−α)L(t)1−α。
情形 2: β+θ=1且 n=0 此时 g K = g A 。无论经济初始情况如何，经济处于平衡增长路径。如图。
思考一下：β+θ>1 情形？
（2）规模效应和增长 早期的新增长模型希望可以解释长期增长的差异，所以假设内生要 素规模报酬递增或者不变（储蓄率的变化和用于研究与开发的资源 的变化持久地改变增长率） 。但是，Jones（1995）指出了一个重要 问题：二战后，储蓄率和用于研究与开发的资源都上升了，但增长 率没有显著变化。 Jones（1995）的解释：内生要素规模报酬递减。 其他解释。见英文版 P114 页。
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也可记为
下面分三种情形讨论。 情形 1: θ < 1 对应情形： θ < 1 时，生产函数表明知识对新知识生产的贡献相当有限。
由
有： 模型的含义：
g* A =
γn 1−θ
在这种情形中，不管经济的初始条件如何，g A 收敛于 g * A Y(t)=A(t)(1-a L )L(t), 说明人均产出为 Y(t)/L(t)=A(t)(1-a L )，因此其增 长率等于 g * A 。由于 g A *是 n, θ, γ的函数，不再是外生给定的，所以 平衡增长路径上的增长率是内生的（endogenous） 。这种模型被称 为内生增长模型。