现在模型中包括两个内生变量：A和K。因此，需要分析它们的动态变化。
将生产函数代入资本积累的公式， 并变化得到资本增长率的微分方程：
根据知识的变化公式可以得到知 识增长率的微分方程：
gK gK
(t) (t)
(1
)g A (t)
n
gK
(t)
gA gA
(t) (t)
gK
(t)
n
(
1) g
A
(t)
在产品的生产函数中，两种内生要素（资本和知识）的规模报酬不变。因此， 这两种要素最终的规模报酬情况取决于知识的生产函数。在知识生产函数中， K和A的规模报酬度取决于β+θ：即K和A都增加n倍，知识的变化率增长nβ+θ。
Y (t) (1 aK )K (t) A(t)(1 aL )L(t ) 1
A(t) BaK K(t) aLL(t) A(t)
0, 0, 0 12
一般情形中知识和资本增长率的动态学
gK (t) 0 gK (t) gA(t) n
gA (t)
等式两边对时间求导得到产出的增长率：
gY gK (1 )(n g A) 每个工人产出的增长率： g y gY n
5
2、不存在资本的模型
没有资本时α＝β＝0，产品的生产函数变为：
Y (t) A(t)(1 aL )L(t)
同理，新知识的生产函数为：
A(t) BaLL(t) A(t)
由产品的生产函数可知，每个工人产出的增长率等于A的增长率。因此，只需
K&(t) sY (t)
人口增长率仍然是外生变量：
L(t) nL(t)
4
经济增长率的计算过程
生产函数： Y (t) (1 aK )K (t) A(t)(1 aL )L(t ) 1
对生产函数取自然对数：
ln Y ln(1 aK ) ln K (1) ln A (1) ln(1 aL ) (1) ln L
3
1、框架与假说
假设经济存在两个部门：产品部门和研发部门。劳动力中有aL的份额用于研发 部门，有1- aL的份额用于产品部门；资本存量中有aK的份额用于研发部门。 它们为外生变量。一个部门使用技术并不影响另一个部门对技术的使用，故两 个部门都使用全部的技术存量A。两个部门都使用柯布－道格拉斯生产函数。
第四讲 新增长理论
在寻租是惟一盈利活动的国家里， 让人们获得技能并不会带来经济成功。 如果只有技能而没有技能得以发挥的环 境和技术，经济增长也无从谈起。
——【美】】William Easterly《在增长 的迷雾中求索》，2005，中信出版社
1
本章概论
• 索洛模型、拉姆齐模型和代蒙德模型都没有提供有关经济增 长的核心问题的满意答案。它们的主要结论是：资本积累不 能解释经济的长期增长；长期人均产出取决于“劳动的有效 性A”，但没有对其进行解释。
越多。
lnA
（2）经济资源中用于技术
进步的比例aL的增加，对
于A的路径只有水平效应，
无增长效应。因为知识对
于新知识生产的贡献十分
t
有限。
t0
9
情形2：θ>1
gA (t) ng A (t) ( 1)[ g A (t)]2 gA
gA
经济将会永久增长而非收敛于 一条平衡增长路径。原因在于，知 识在新知识的生产中是如此有用， 以至于知识水平的每一边际增加所 产生的新知识之多，使得知识的增 长率上升而非下降。因此，一旦开 始知识积累，经济就进入了一条增 长率不断提高的路径。
gA(t)变化取决于θ6与1的关系。
根据 gA (t) 0 ， 可以得到知识增长率的两个稳态值。
g
* A
0
g
* A
1
n
非零的稳态值是稳定的，即无论经济的初始条件如何，知识 的增长率都会收敛于gA*。A和Y/L都以gA*的速率增长，经济 处于一条平衡增长路径上。
与以前三个模型不同的是，技术进步率由模型内生的决定。
gA
当θ>1时知识增长率的相位图 lnA
劳动力中参与研发的人员的比例上升 将会引起知识增长率更快的增长。
t t0 10
情形3：θ=1
当θ=1时，现有知识生产足够的新知识， 使得新知识的生产与知识存量成比例增加。 知识增长率及其变化率简化为：
g A (t) BaL L(t)
gA(t) ngA(t)
要分析知识的动态变化就可以了。
由知识生产函数可以得到知识的 增长率：
gA (t)
A&(t) A(t)
BaL L(t)
A(t) 1
对上式两边取对数并对时间求导， 得到A的增长率的增长率：
gA (t) g A (t)
n
(
1)g A (t)
将上式两边同时乘以A的增长 率可得到gA(t)的微分方程：
gA (t) ng A (t) ( 1)[ g A (t)]2
7
情形1：θ<1
g&A (t) gA (t)
n
(
1)gA (t)
dgA/dt
当gA>gA*时， gA下降； 当gA<gA*时， gA上升； 当gA=gA*时， gA达到稳态；
0
gA*
gA
当θ<1时知识增长率的相位图
8
（1）人口增长率影响长期
增长。较高人口对世界知
识的增长是有利的，人口
越多，作出新发现的人也
当人口增长率为正时， 知识增长率为正并且随 时间而增长。
gA gA
当人口增长率等于零时， 无论初始情况如g何A ，知 识的增长率都保持不变。 即经济总会表现为稳定 增长。在这种情形下， 知识、产出与单位工人 产出的增长率都等于 gA*=BaLγLγ。
gA
当θ=1时知识增长率的相位图
11
3、一般情形
• 本章将深入分析增长理论。将劳动有效性解释为知识，并建 立模型分析知识生产的影响因素：知识很可能是世界范围经 济增长的核心，但可能不是国家间收入差异的核心因素。资 本应是增长的关键，这里的资本采取了更广泛的形式，其中 最重要的就是人力资本。
2
一、研究与开发模型（R&D）
引入一个明确的研究和开发部门（R&D），然后 对新技术的生产建立模型。并且对资源在传统产品 的生产和研究与开发之间的分配建立模型。
生产部门 Y (t) (1 aK )K (t) A(t)(1 aL )L(t ) 1
技术部门：B为转
移参数，θ反映了
A&(t) B aK K (t) aLL(t) A(t)
现有知识存量对研 发的规模报酬情况。
B 0, 0, 0,有三种情况
储蓄率为外生，忽K(t略) s折Y (t旧) ，则资本变化为：