•
归纳总结
⑴、直接法： 一作、二证、三计算
⑵、间接法: 向量法：利用法向量与点到面的距 离关系，把几何问题转化为代数问 题。还有等体积法，转移法待续。
2. 直线到它平行平面的距离
定义：直线上任一点到与它平行的平面的 距离，叫做这条直线到平面的距离。 由定义可知，求直线到它平行平面的距离 的问题可由点到平面距离的知识来解决。
例1.如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C 为圆周上一点，若AB＝5，AC＝2，求B到平面 PAC的距离。
例2 如图，已知正三角形 ABC的边长为 6cm，点 O 到 ABC各顶点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的 距离。
解：设H为点O在平面ABC内的射影，延 长AH，交BC于E，则
D A'
C' B'
D A
C
E B
例3: 如图,已知四边形ABCD是边长1的正方形, 四边形AA' B' B是矩形, 平面AA' B' B ABCD, 若AA' 1,求直线AB面DA'C的距离.
A'
B'
A
B
O
D
C
THANK YOU
SUCCESS
•
OA OB OC ,
HA HB HC ,
即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
BE 1 BC 3 , BH BE 2 3 ,
2
cos 30
A
OH OB2 BH 2 42 (2 3)2 2 (cm) ,
即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm.
练习2、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰
直角三角形，∠ACB＝90，侧棱AA1＝2，D是CC1的中
点， 求点A1到平面ABD的距离.
z
C1
A1
D
B1
C
xA
By
练习3、如图，BAC在平面α内，PA是α斜线，
PAB= PAC= BAC= 60
PA=AB=AC=a，求点P到α的距离。
点到平面的距离
复习：
1.过已知平面α 外一点P有几条直线和α 垂直?
2.什么是点P在平面α 内的正射影?
P 答:从P向平面α 引垂线,垂足
P'叫做点P在平面α 内的正射
影(简称射影).
P'
新知：
点到这个平面的距离：一点到它在一个平面内的正射 影的距离。
P
α
BA
连结平面α 外一点P与α 内一点所得线段中,垂线段PA最短.
3. 两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个 平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长 小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段 长。 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平 行平面的距离。 求两平行平面的距离，只要求一个平面上一 点到另一个平面的距离，也就是求点到平面 的距离。
O
C
H
E
B
一作
二证
三计算
思考：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
PA=PB=PC
A
B
O
C
O为三角形ABC的外心
思考：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两 两垂直,试判断点P在底BC的垂心
A
B
O
D
C
P
A
C
α
B
练习：
1.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6， BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面 BCD的距离。
A
B
D
O
C
3.如图，已知D为△ABC外一点，DA、DB、 DC两两垂直，且DA＝DB＝DC＝3，求D 点到平面ABC的距离。
D
A
O
C
B
4.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’ 中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
n BP BP cos‹ n ，BP ›= n
n BP 即 d=PA= n
αB
P
n
n
A
练习1:
SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a, z 求A到平面SCD的距离。 S
A
B x
D
y C
THANK YOU
SUCCESS
思考：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面 三角形ABC的三条边的距离相等,试判断 点P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
B
O
A
E
F
C
例3、如图，PA是平面α的垂线， A为垂足，B是α上一点， n是α 的一个法向量。
BPcosBPA=AP
而 n •BP = n BP cos‹ n ，BP ›，