H
一作
C E
B
二证
三计算
1、已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
PA=PB=PC
O为三角形ABC的外心
A
B
O
C
.
2、已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面 ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的垂心
B
O
D
C
A
D A'
C' B'
D A
C
E B
.
例3:如图 ,已知四A边 BC形 是 D边1的 长正方 , 四边A形 A'B'B是矩,平 形面 AA'B'BABC, D 若AA'1,求直A线 B面DA 'C的距. 离
A'
A
D
B'
B
O C
.
解：设H为点O在平面ABC内的射影，延 长AH，交BC于E，则
QO A O B O C, H AH BH C,
即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
A
BE 1 BC 3 , BH BE 2 3 ,
2
cos30
O H O B 2 B H 24 2 (23 )2 2 (c m ),
即点O到这个三角形所在平面的.距离为2 cm.
A
B x
.
D
y C
归纳总结
⑴、直接法： 一作、二证、三计算
⑵、间接法: 向量法：利用法向量与点到面的距 离关系，把几何问题转化为代数问 题。还有等体积法，转移法待续。
.
2. 直线到它平行平面的距离 定义：直线上任一点到与它平行的平面的 距离，叫做这条直线到平面的距离。 由定义可知，求直线到它平行平面的距离 的问题可由点到平面距离的知识来解决。
.
练习：
1.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6， BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面 BCD的距离。
A
B
D
O
C
.
3.如图，已知D为△ABC外一点，DA、DB、 DC两两垂直，且DA＝DB＝DC＝3，求D 点到平面ABC的距离。
D
A
O
C
B
.
4.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’ 中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到平 面A’BCD’的距离。
.
3、已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三 角形ABC的三条边的距离相等,试判断点 P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
B
O
E
F
C
A
.
例 2:如 ,在 图棱 1 的长 正 A为 B 方 A C 1B 1 C 体 D 1D 1 中 , 点 E 是 A棱 的 D ,中 求 A 1 到 点 B 平 1E D 的 面 .距
点到平面的距离
.
(1)点到平面距离的定义:
一点到它在一个平面内 的正射影的距离叫做这 一点到这个面的距离.
一个P， 点一个 ，P 面 ， A⊥平面 ⊙O，C为圆周上一点，若AB＝5，AC＝ 2，求B到平面PAC的距离。
.
例2 如图，已知正三角形 ABC 的边长为 6cm，点 O 到 ABC各顶点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的 O 距离。
D1
C1
A1
B1
ED A
C B
.
用向量方法来处理点到面的距离
（用推理说明问题）
A
n
B
设n是平面 的法向 ，在 量 内取一 B，点 则A到
ABn
的距d离 ABcos
n
.
练习:
SA 平A 面BC ， DDAB ABC90，
SA AB BC a， AD 2a, z 求 A到 平 SC 面 的 D 距 离S。
.
3. 两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个 平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长 小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段 长。 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平 行平面的距离。 求两平行平面的距离，只要求一个平面上一 点到另一个平面的距离，也就是求点到平面 的距离。