第十一章多目标决策(Multi-objective Decision-making)主要参考文献 68, 111§11.1 序言MA：评估与排序MCDPMO：数学规划一、问题的数学表达N个决策变量x•= {x1,x2,…, xN}n个目标函数f•(x•) = (f1(x•),f2(x•),…, fn(x•))m个约束条件x•即: gk(x•) 0 k=1,…,mx•(1) 不失一般性，MODP可表示成：P1 Max {f1(x•),f2(x•),…, fn(x•)}s.t. x•这是向量优化问题，要在可行域X中找一x S•，使各目标值达到极大。

通常x S•并不存在，只能找出一集非劣解x•*(2) 若能找到价值函数v(f1(x•),f2(x•),…, f n(x•)) 则MODP可表示成：P2 Max v (f1(x•),f2(x•),…, fn(x•))s.t. x•这是纯量优化问题，困难在于v如何确定。

二、最佳调和解(Best Compromise Solution)P3 DR (f1(x•),f2(x•),…, fn(x•))s.t. x•即根据适当的Decision Rule在X中寻找BCS x c•常用的Decision Rule: max V maxEUmin dp (f•-∃f•)求BCS必须引入决策人的偏好三、决策人偏好信息的获取方式1.在优化之前，事先一次提供全部偏好信息如：效用函数法，字典式法，满意决策，目的规则2.在优化过程中：逐步索取偏好信息如：STEM SEMOP Geoffrion, SWT3.在优化之后：事后索取偏好，由决策人在非劣解集中选择i，算法复杂，决策人难理解， ii,计算量大，iii,决策人不易判断各种方式的利弊比较黄庆来[111]的分类表:§11.2 目的规划法适用场合：决策人愿意并且能用优先级P (Preemptive priority)权W (Weight)目的∃f •( Goal ) 来表示偏好理想点 f *•( Ideal )一、距离测度的选择d f x f p (()∃)•••- = {|()∃|}w f x f j j j p p •-∑1 范数p 的意义和作用p=1 绝对值范数 p=2 欧几里德范数 p =∞契比E 夫范数在上图中，B 、C 点到A 的距离f 1 f 2 d 1 d 2 d 3 d ∞ AB 间的距离0 6 6 6 6 6AC 间的距离 5 4 9 6.4 5.745二、目的规划问题的表述min{d f xf p (()∃)•••- = {|()∃|}w f x f j j j p p •-∑1} s. t. x • 即: g k (x •) 0 k=1,…,mx • 0三、分类1.线性目的规划 p = 1f j ,g k 为线性; x •连续; w, ∃f •事先给定 2.整数目的规划 除x •各分量为整数外，均同线性目的规划 (例：人才规划)3.非线性目的规划： p=1， w, ∃f •事先给定f j ,g k 为非线性，X 为凸集，x •连续 4.调和规划和移动理想点法: 1 p w 事先给定∃f •= f *•是移动的理想点5. 字典序法 p = 1∃f •= f *•P1》P2》…》PL6.STEM 法 P=∞ ∃f •= f *•为理想点，权由计算得出7.SEMOP 目的标定为区间，不是固定点四、例：某车间生产甲、乙两种产品，产量分别为x 1和x 2，产品甲每单位需2个单位的劳动力和3个单位 原料,利润为2；生产产品乙需3个单位劳动力和1.5个单位原料,利润为3。

在下一计划期间车间有12单劳动力12单位原料。

假定车间主任有如下目标： (1) 利润至少为6个单位，(2)两种产品产量经尽可能保持x 1：x 2= 3：2， (3) 劳动力充分利用解：按传统的线性规划，使利润最大： max 2x 1+ 3x 2s. t. 2x 1+ 3x 2≤12 (劳力约束) 3x 1+1.5x 2≤12 (原料约束) x 1, x 2≥0用图解法可得x 1=3, x 2=2时,利润最大为12.五、例(续上例)已知条件中产品甲利润改为4, 其余均不变。

车间主任希望改为: 最低利润12单位 (2) 产量比例为1, 即x 1=x 2; (3)充分利用原料 解: 新的目标为 4x 1+3x 2≥12 (最低限度利润) x 1- x 2 = 0 (产量比例) 3x 1+1.5x 2=12 (材料充分利用)设定偏差变量 d 1: 利润 d 2: 产量比例 d 3: 原料 d 4:劳动力利用正、负偏差变量可得：min P1d 1-+ P2(d 2-+d 2+) + P3d 3-s. t. 4x 1+3x 2-d 1-+d 1+≥12 (利润目标) x 1- x 2 -d 2 + d 2+= 0 (产量比例)3x 1+1.5x 2 + d 3- =12 (材料充分利用) 2x 1+ 3x 2 + d 4- =12 (劳动力约束)本题可以用改进的单纯形法求解(见pp217-221), 也可用图解法求解:解得x *= (2.4, 2.4) , d 1-=d 2+=d 2-=d 4-=0 , d 3-=1.2 , d 4+=4.8§11.3字典序法第一步，由决策人给出n ，按重要性由高到低排成 y 1,y 2,…, y n第二步，用适当方法估计各属性的偏好(效用或价值)函数 w 1(y 1), w 2(y 2), …, w n (y n )第三步，依次求解下列问题，进行筛选问题P1 max (())x X w y x ∈11 解为X 1 问题P2 max (())x Xw y x ∈122 解为X 2 … … 问题Pj max (())x Xj w y x ∈-122 直到 a) 问题Pj 只有唯一解, 则该解为最优解b) n 个问题全部解过：决策人用其他准则从X n 中选择一个方案。

§11.4 逐步进行法(STEP Method) 特点：P=∞ 只有最大偏差起作用 属于Min max 决策规则 算法步骤对多目标决策问题 max{f x••()=C x •} s.t. A x •≤b x •≥0 记作X 1 第一步·求解n 个单目标优化问题 max ()x X j f x ∈• j=1,…,n 解为 x j *•得f j *= f x j j ()*•理想点 f *•= (f 1*,…,f n *)·列出支付表——使决策人对取不同的x j*•时各目标的值有直观认识fx j*•f j 1… f j *… f jn… ……… … … x n *•f n 1 …f nj…f n *第二步 由 d f x f ∞•••-(())* = max w f f x j j j (())*-•求解 min d f x f ∞•••-(())* s. t. x X ∈1 等价于解 min 入s. t. λ≥w f f x j j j (())*-• j=1,…,n x X ∈1 λ≥0 其中 w jjjj n==∑αα1j=1,…,nαj=||()*min *f f f c j j j ji i N-=∑2112式中 f j min 从支付表中获得 ·解(2)得 x •1与 f x j ()1•j=1,…,n 第三步 由决策人判断降低某个太好的目标 f x l ()1•，下降∆f l 再修改约束条件，使 A x •≤b x •≥0 X 2: f xl ()•=f x l ()1•-∆f l f x j ()•≥f x j ()1•j=1,…,n j ≠l 以X 2取代X 1，令w l =0重复第二步三、优缺点：直观; 修改有针对性; ∆f l 较难定§11.5 调和解(Compromise solution)和移动理想点法一、基本概念(思路)1.调和解 x Wp•在求解MODP: minx X•∈d f x f p (())*•••- 时 f *•(或∃f •), W , p 要由决策人确定其中 ·由单调性假设，∃f •=max x X•∈f x j ()•j=1,…,n可以求得·W 可由决策人设定 而P 则很难设定因此，给定权向量W ，定义调和解集X W C = {xX •∈|x •是给定W 时min x X•∈{|()∃|}w f x f j j j p p •-∑1的解} 它是非劣解的子集, 即 X W CX *2.各目标偏差的规范化记f j 0= minx X•∈f x j ()• 用f f x f fj j jj**()--•0使偏差无量纲、归一化，否则d p 量纲、单位的选取有关二、求解步骤第一步 由决策人估计权W第二步 f j 0= minx X •∈f x j ()• f *•=max x X•∈f x j ()•第三步 构造调和集求解 minx X•∈d f x f p (())*•••- p=1,2,∞ 其中 d w jj n11()•==∑f f x f fj j jj**()--•0 d w j j n21()•==∑[f f x f f j j j j**()--•0]2d w jj∞•=()max f f x f fj j j j **()--•0第四步若能从X W C中找出BCS ，则结束 第五步 寻找新的理想点令 X 2=X W C返回第二步.§11.6 SEMOP(多目标问题的序贯解法) 一、思路与记号 ·目的为区间 目的类型目的表达式 偏差测度 d j 有上界f x j ()•≤b j f x j ()•/b j 有下界f x j ()•≥a j a j /f x j ()•给定值 f x j ()•= c j 12(()())f x c c f x j j j j ••-区间内 a j ≤f x j ()•≤b j b a b f x b a f x j j j j j j j ++••(()())区间外 f x j ()•≤a j ,f x j ()•≥b j b a b f x b a f x j j j j j j j ++••-(()())1 ·n 个目标分为两类:I q ：加约束的r 个目标的下标集合； J q =J\I q J={1,2,…,n}X q ：X 中的子集，其中的x •使 j I q , f x j ()•在标定区间内 ·求解min{S d qjqj J q=∈∑}s. t. x X q •∈ 将解x q •与 f x j q ()•j=1,…,n 送决策人判断 ·为了向决策人提供必要信息需解(n-r)个辅问题 ·min{S d l qjj J j pq=∈≠∑,}s.t. x X pq•∈ 其中, l =1,…,n-rp 是J q 中第l 个元素在J 中的序号X p q是j I q 以及j=p 的f x j ()•均严格处于标定的目的区间内二、解题步骤第一步 由决策人确定r 个应严格限定值域的目标，并给出这r 个目标的目的区间，这r 个目标的序号构成集合I q 第二步 i, 解主问题 min{S d q j q j J q=∈∑}s. t. x X q •∈ ii, 解n-r 个辅问题 min{S d l q j j J j pq =∈≠∑,}s.t. x X pq•∈ 得出x q•与 f x j q ()•j=1,…,n 和 x lq •与 f x j lq ()•j=1,…,n l =1,…,n-r 第三步 由决策人对第二步结果作判断基对x q•满意则停止 若 不满意则q=q+1返回第一步三、优缺点1.可用于非单调区间2.容易反映目标间的矛盾关系3.非线性规划问题求解困难,没有规范化的步骤保证收敛§11.7Geoffrion 法 一、思路·用Frank-Wolfe 法解线性约束的非线性规划问题max v(f x ••()) (0) s. t. x X •∈ 是在x •0 处，以一阶Taylor 展开~()vx •线性逼接v(f x ••())[记作v(x •)]: ~()v x •= v(x •0) + [∇xv x ()0]T (x •-x •0) (1) 求(1)的极大值等价于求解线性规划问题max x X•∈[∇x v x ()0]T ·x • (2) 令(2)的最优解为y •0，则i,若 [∇x v x ()0]T (y •0-x •) 是(2)的最优解，迭代停止； ii,若[∇x v x ()0]T (y •0-x •0)0, 则从x •0出发沿y •0-x •0方向作一维搜索即求 max 01<≤t v(x •0+t 0(y •0-x •0))的最优解t 0 只要 t 00足够小, 必有 v(x •1)v(x •) 式中 x •1= x •0+t 0(y •0-x •0) 对x X •∈1，重复上述步骤，可得原问题(0)的最优解 ∇x v x ()0虽属未知，但∇x v x ()0=∂∂vf jj n=∑1∇x j f x ()0除以∂∂v f l, 得wjj n=∑1∇x j f x ()0 其中，w v f v f j j l=∂∂∂∂-∆∆f f ljj=1,…,n二、求解步骤三、优缺点1.只要决策者心目中的效用函数确实存在，并能给出各点的边际置换率，不必给出具体的 效用函数值。