方法:
方法1 先单后重法(“投影法”)
方法2 先重后单法(“截面法”)
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
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1. 先单后重法 (“投影法” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) Ω: ( x, y ) Dxy 第一步：先将x，y看做常数，把 f(x，y，z)看做z的函数，在区间 [z1(x，y)，z2(x，y)]上对z积分，
2
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四、在球面坐标系下三重积分的计算
1.球面坐标
设 M ( x, y, z ) R , 其柱坐标为 ( , , z ), 令 OM r , zOM , 则( , , )就称为点M 的球面坐标.
直角坐标与球面坐标的关系 x sin cos 0 y sin sin 0 2 π 0 π z cos 坐标面分别为 球面 常数

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例8.4.9 计算
与球面
其中
所围立体.
解: 在球面坐标系下 0 R
z
π 4
R
: 0 π 4 0 2π
π 4 sin d



2π 0
( x 2 y 2 z 2 )d xd yd z
0
d

R
0
4 d
x
O
y
d v 2 sin d d d
e
f
D( z)
f ( x, y, z ) d x d y.
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其中 是球体： 例8.4.6 求 I x2 y 2 dV，

解 用先重后单法：先画出Ω的图形 (如图)．将Ω投影到z轴得投影区间[0 ，2]，在[0，2]内任取一点z，过此点 作垂直于 z 轴的平面，该平面截 Ω 为 平面域D(z)，D(z)可表示为
x sin cos
之下有
y sin sin z cos
I f ( x, y, z ) d x d y d z

f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin d d d .

利用对称性
O x
y
(x y z ) dv
2 2 2

用球坐标

2 0
d sin d
4 0
2 4 r dr 0
64 2 1 5 2
r d r d d z.
其中 F ( r , , z ) f ( r cos , r sin , z )
O y r x d d r d r d r d
定理1 如果f(x，y，z)在闭区域Ω上连续，则在坐标变 换 x＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z 之下，有

1 5 π R (2 2) 5
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五、三重积分的应用
设物体占有空间区域Ω，在点(x，y，z)处的体密度为 μ(x，y，z)，假定μ(x，y，z)在Ω上连续，该物体的质 量、重心坐标和转动惯量：
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例8.4.11 计算均匀半球体 的重心． 解: 重心在z轴上， x y 0.
D z ＝ x, y x 2 y 2 2 z z 2 ,
于是
I x
2 0
2
y 2 dV

用“先重后单 ”
dz
x2 y 2 2 z z 2
x
2
y 2 dxdy
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而二重积分
2
x y 2 z z2
1.柱面坐标
（r , , z ) 设 M ( x, y, z ) R 3 , 将 x, y用极坐标r , 代替,则
就叫做点M 的柱面坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x r cos y r sin zz
坐标面分别为
0 r 0 2π z
F ( x, y )
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z ) d z.
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
第二步：计算F(x，y)在闭区域Dxy上的二重积分


f ( x, y, z ) d x d y d z d
Dxy
lim
0
f ( , , )V
i 1 i i i
n
记作
i


f ( x, y, z ) dV
存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在 上的三重积分. dV称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz. 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
中值定理.
2
1 2 1 4 a 2 sin . 4 2 0 4 0 3 3 z a, 重心为(0,0, a ). 8 8
4
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/2
a
内容小结
坐标系 直角坐标系 柱面坐标系 体积元素 适用情况 积分区域多由坐标面 围成 ; 被积函数形式简洁, 或
解: 如图所示 : 0 r 2
z
0 2
2
原式 z r d r d d z
2
O
x
2
y


2
0
2
0
16 2 208 16 . 8 sin sin d 5 15 3
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1 4 2 2 3 d 2r 2r sin r sin d r 0 2
得到三重积分的计算公式：


f ( x, y , z ) d V d x
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
d y
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z ) d z.
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例8.4.2 计算三重积分 I x yz dV , 其中Ω是由平 面x＝0，y＝0，z＝0及x＋y＋z＝1所围成的闭区域． 解:如图 Dxy {( x, y ) | 0 y 1 x,0 x 1}.
1
1 2 xyz 2 0
1 x y
O
B (0,1,0)
y
1 . 720
x
A(1,0,0)
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2. “先重后单”法 (截面法) 设空间区域Ω在z轴上的投影为区间 [e，f]，在[e，f]内任取一点z，过该 点作垂直于z轴的平面，截Ω得一平 面区域D(z)，
f ( x, y, z ) d V d z
质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “分割, 近似, 求和, 求极限” 可得

M lim ( i ,i , i )Vi
0
i 1
n
Vi
( i ,i , i )
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定义 设 f ( x, y, z ) , ( x, y, z ) Ω , 若对 作任意分割: 任意取点 下列 “乘 积和式” 极限
2 F ( , , ) sin d d d

O
d
y
其中 F ( , , ) f ( sin cos , sin sin , cos )
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定理2 如果f(x，y，z)在闭区域Ω上连续，则在坐 标变换
z z
3
O x

M
y
常数 常数
半平面 锥面
M ( , , )
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2.利用球面坐标计算三重积分
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
d
z
d
d V 2 sin d d d
因此有

x

d
f ( x, y, z )d xd yd z
围成 , f ( x, y, z ) C ( ) . 提示:
x : 1 y 2 1 2
I
0 d x 1
2
2 1 x 2
d y f ( x, y, z )d z
x
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2
2. 设 由锥面 所围成 , 计算
和球面
z 2
4
提示:
I (x 2 y 2 z 2 2 x y 2 yz 2 xz ) dv
第4节
一、三重积分的概念
第八章
三重积分的概念及计算
二、在直角坐标系中三重积分的算法
三、在柱面坐标系下三重积分的计算 四、在球面坐标系下三重积分的计算 五、三重积分的应用
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一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为 ( x, y, z ) C ,求分布在 内的物质的
2

2 2 x y dxdy 的积分域是圆域，
被积函数中含有x2＋y2，可用极坐标计算，即
I dz d
0 0