图7.8.5 横向超晶格器件
7.8.4 二维电子气的能态密度与量子霍尔效应 １. 二维电子气能态密度 如前所述，超晶格半导体附加的周期性引 起电子能谱的附加量子化，即在 z 方向形成一 系列量子能级 E1 ( z), E2 ( z), ，由式（7.8.1）可知， 由于[ 2 /(2m* )](k x2 k y2 ) 形成准连续谱，则相应 z 方 向的每一个能级 E ( z) ，电子的二维运动形成一 个子能带。子能带的态密度可由第4章的方法 求得，只不过这里是二维问题。由在 k// (kx , ky ) 空 间Ｋ标度下单位体积的态密度为1/(2π)2 可知， 以 k k k 为半径的 k// 空间圆内所包含的允许 的 k// 的数目为 :
图 7.8.3 超晶格中E-k 关系
图 7.8.4 在周期性晶体场中外加直流 电场以后电子的行为
由此可见，由于在超晶格晶体中引入了附加的一维 周期势场，其中电子的能量将呈现新的量子化现象， 原来晶格周期势场中的能带分裂成一系列子能带。
7.8.3 超晶格的负阻效应及其应用
这种附加量子化效应使得超晶格晶体产生了许许 多多新的物理现象和物理性质，如量子霍尔效应、 负阻效应等。下面简单介绍负阻效应极其应用。 研究表明，当在不同的温度下测量超晶格晶体的 电阻时，将会发现样品的电阻随外加电压变化而变 化。当外加电压增加到某一阀值时，微分电阻的数 值将会发生突变，在某些温度下会出现负阻现象。 过了突变值以后，随着外加电压的增加，电阻的数 值会出现忽大忽小的变化。电阻的这种异常变化是 块状 GaAs、AlAs 的单晶样品所没有的。关于超晶格 晶体的负阻效应可作如下的定性讨论。 图７.８.４给出了电子在直流电场中受到加速作 用以后运动的情况。假定无外电场时，电子处于Ａ
E (k ) E (k z ) 2m
*
(k x k y )
（7.8.1）
式（7.8.1）表明，在 xy 平面内，电子的动能仍 是准连续的，而在垂直于界面的 z 方向，电 子的能量取决于附加的一维周期势。
我们知道，如果原来晶体的晶格常数为 a ，则 其周期性势场可表示为:
V ( z ) V ( z na)
与此相对应的，电子能量在Ｋ空间也具有周期 性，即有 2π
E (k z ) E k z n a
类似地，在超晶格晶体中，由于合金成分的周 期性变化所引起的周期性势场为
V ( z) V ( z nd )
/a 因而，电子能量Ｅ在Ｋ空间内除去周期性 2π外， 2，即 π/d 还应具有周期性
2π E (k z ) E k z n d
由于 d a ，因此能量 E(k z ) 所具有的周期 2π / d 要比 2π / a 小得多。换句话说，在原有的布里渊 区内又可分成许多小区，这些小区的宽度比原 有的布里渊区要小得多。在每个小区的边界产 生能量的突变，如图(７.８.３)所示。与原先的能 带相比，超晶格能带的宽度要窄得多。允许带 和禁止带的宽度以及具体的Ｅ－Ｋ关系取决于 势的变化情况及超晶格常数。通过适当选择组 成超晶格的材料和改变层的厚度，便可改变 k z 方向的Ｅ－Ｋ关系
（7.8.7）
如果电子刚好填满到第 i 个郎道能级,那么电 子数为 n ieB / h ,代入式（7.8.5）中得霍尔电阻为
H
h （i为正整数） ie 2
（7.8.8）
由此可知 H与B 无关，即出现霍尔电阻平台， 且平台值是量子化。显然，平台本身相当于填 满的郎道能级。国际计量委员会已经决定，从 1990年元月起用量子霍尔电阻标准替代原来的 标准电阻的实物基准。
图７.８.５示出了超晶格器件的一个例子——横向超晶格 器件。在这种超晶格结构中，电子是互相平行地通过超晶格晶 体的。开始，电子存在于高迁移率的导带的底部，由于电场加 速作用，电子能量不断增大，于是进入的导带。但在中电子迁 移率较之在中要低。这样，从高电子迁移到低电子迁移率的突 变，将预示着可能存在负阻特性。
图7.8.2 半导体超晶格中的势分布
7.8.2 量子阱和附加量子化
若将垂直于界面的方向取作z轴，从图7.8.2 可以看到在z方向出现周期为 d 的势阱阵列， 称之为多重量子阱。超晶格中的电子（空穴） 将被势阱束缚。但在平行于x,y平面内的运动 并不受影响。于是对于导带中的电子，其能量 可表示为 2 2 2
i
// 2 x 2 y
2 k 1 2 // N π k // 2 (2π) 4π
（7.8.2）
若改用能量标度:
2 1 2m* 2 k// m* N ( // ) 2 * 2 // 4π 2m 2π
则能态密度
N m* g ( ) 2 2 π
（7.8.3）
２. 量子霍尔效应
(a)
（b）
图7.8.1 通常化合物半导体晶体结构和超晶格结构实例

一般来说，组成超晶格的两种材料具有相 同类型的能带结构.由于两种材料的导带边和 价带边的能量不相同,故在两种材料的交界处, 带边发生不连续的变化.图7.8.2为 GaAs - AlAs 超晶格在垂直两种材料界面方向上的导带和价 Eg1、Eg2 分别为 AlAs、GaAs 带势场分布的示意图。 的能隙宽度。 由图可见，超晶格晶体中除原有的两种材 料的晶体周期场外，还在垂直于两种材料界面 的方向叠加了一个附加的一维周期势场。
7.8 半导体超晶格
半导体超晶格由于其独特性质而引人注目， 从1973年以来，已经成为半导体新理论和新 应用的生长点。
7.8.1 半导体超晶格 超晶格是相对晶态固体材料中原来的晶格 周期而言的，它是指晶态固体材料中的原胞要 比构成超晶格材料的原胞小得多。因此该材料 在实空间以原周期的若干倍形成新的周期结构。 半导体超晶格不存在于自然界中，它是一种人 工制造的结可能应用 主要分支 超高频器件 超低功耗器件 光双稳态器件 实例 超高速传真，超高速数据通信，超高速图象 传输，超高速多路电话系统 非线性变换器，高效率能量变换器，隧道晶 体管，高温超导器件 光逻辑集成电路
超高密度存储器 大容量光存储器，大容量磁存磁器 高效率发光器件 高输出可见光激光器，高效率多色发光器件 控制器件 传感器 紫外线控制器，Ｘ射线控制器 高灵敏度磁传感器，高带域光传感器，高性 能音响设备，高灵敏度超声波器件
点。当加上直流电场以后，电子被外电场加速 并沿 AB 移动到了转折点Ｂ后，电子的速度就慢 慢地减下来，于是晶体进入负阻区域。 然而尽管理论上可以预计在直流电场的作 用下晶体可以出现负阻现象，但在通常的半导 体晶体中实现，实际上是不可能的。因为此时 必须把电子的能量加速到很高，但由于电子被 加速过程中受到的散射作用，电子要想得到很 高的能量事实上是相当困难的。 但是，在超晶格晶体中，由于附加的周期 势的周期 d 要比母晶体中的晶格常数 a 大得多， 因此在Ｋ空间每个子能带所占据的宽度比原有 布里渊区的宽度要小得多。由于小区中的能量 和准动量都很小，所以在外电场作用下，

采用分子束外延、金属有机物气相沉淀 （MOCVD）和化学束外延（CBE）等生长技 术，可使半导体超晶格得以实现。半导体超晶 格不是一种均匀的单一合金成分晶体，而是由 两种极薄的不同合金成分的、半导体单晶薄膜 周期性地交替生长的多层异质结构。每层薄膜 的厚度一般为几十到一百。图7.8.1(b)给出了这 种结构的示意图，它是由 GaAs和AlAs 交替叠合 AlAs 而成的。在每周期内 GaAs 的厚度为 451010 m， 的厚度为 40 1010 m 。每个周期共含有50个晶格 周期。为了比较，图7.8.1(a)还给出了GaAs 化合 物的晶格结构示意图。
普通物理中介绍过，霍尔电压与外磁场、电 流强度的关系为（已设霍尔片的厚度为１）
VH RH IB
VH B H RH B I ne
（7.8.4）
式中,RH 1/(ne) 为霍尔系数。类似欧姆定律，把
（7.8.5）
称为霍尔电阻，显然，若保持导体中的电子数 密度 n 不变，则 H 与Ｂ成线性关系。 所谓量子霍尔效应是指在超晶格半导体中， H 并非总是与 Ｂ成正比关系。当改变磁场，测量 霍尔电阻时，发现在某些围的Ｂ值
i c
的能态密度式（7.8.3），得到郎道能级的简并度 为 m* eB 2 Be
g ( E ) c
2
m
*

π
（7.8.6）
图 7.8.6 霍尔电阻与磁场B的关系，出现平台 区，在平台区上，当磁场改变时，霍尔电阻 不变
如果考虑到电子自旋在磁场中的分裂，郎 道能级的简并度为 1 Be
2 g ( E ) c π
电子有可能被加速到越过Ｅ－Ｋ曲线中的Ｂ点， d E 此时， 变号，电子从正有效质量变成负有效 dk 质量，从而可以获得负阻效应。 超晶格半导体材料诞生后不久，便由于其 独特的物理性质而在技术上显示出它的重要性。 用超晶格材料研制的一些微电子和光电子器件 具有常规材料所不具备的许多优异性能，并使 电子器件的设计思想发生了革命性的变化。使 半导体器件的设计和制造由原先的所谓“杂质 工程”发展到“能带工程”，并可对其物理特 性进行有效控制。综合超晶格器件的应用前景 可以列成表(７.８.１)
H 并不增加，如 出现平台，即随着Ｂ的增大， 图7.8.6所示，而且平台值是量子化的，精确地 i 等于 h / e 2 的1 / i 倍，是正整数。 量子霍尔效应是超晶格附加量子化的宏观 表现。当在 z 方向加上磁场Ｂ后，原在平面内 自由运动的准连续能谱，将量子化为５.３节 讲述过的郎道能级 1 E ( z ) (i ) 为正整数 i 2 * eB / m 式中，c 为回旋共振频率。 与５.３节类似，每一个郎道能级包含的量 子态数目等于原来连续谱中能量间隔 c 内的 态数目。这样就可由原来二维自由电子气