（二）刘徽证法
❖ 刘徽（生于公元三世纪）
❖ 三国魏晋时代人。
❖ 魏景元四年（即 263 年）为 古籍《九章算术》作注释。
❖ 在注作中，提出以「出入相 补」的原理来证明「勾股定 理」。後人称该图为「青朱 入出图」。
《九章算术》
成书于公元前100年左右， 作者不详。 中国最著名、最优秀的数学经典 中国传统数学的代表作 中国古代数学文献的典范
❖ 全书共分13卷，包括5条
公理、5个公设、119个定 义和465条命题，构成了世 界上第一个数学公理体系。
“新娘的坐椅”
H
G C
F A
K B
DL
E
阿勾 拉股 伯定 文理 手的 抄证 本明
（五）总统证法
❖ 加菲（James A. Garfield； 1831 1881）
❖ 1881 年成为美国第 20 任总统
❖ 1876 年提出有关证明
a bc
c a
b
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab)
½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab
a2 + b2 = c2
b
a c
(a + b)2 = c2 + 4(½ab) a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + b2 = c2
第二十四届：2002年8 月20日至28日中国北京。 来自１００多个国家和 地区的约４０００名数 学家出席了大会。大会 期间，有２０位数学家 做大会一小时报告，１ ７４人做４５分钟报告。 大会主席吴文俊、诺贝 尔经济学奖获得者纳什 等做了以数学史和博弈 论为题的公众报告。
为2002北京“国际数学家大会”发行的 纪念邮资明信片 JP108
四、勾股定理的重要性
❖ 勾股定理的证明是论证数学的发端，它是历史上 第一个把形与数联系起来的定理，即第一个把几 何与代数联系起来的定理。
❖ 勾股定理导致无理数的发现，引发了第一次数学 危机，加深了人们对数的认识，促进了数学的进 步发展。
❖ 勾股定理是历史上第一个给出不定方程的解答， 从而促使费马大定理的提出。（这是一只下金蛋 的鹅，数学家经过350年的历程才获得解决，这期 间给整个数学界带来了巨大的财富。）
二、勾股定理在西方
（毕 尼达 加哥 拉拉 瓜斯 ，定
理
）
1971
❖ 在西方，“勾股定理”被 称为“毕达哥拉斯定理”， 于公元前500年左右由古 希腊数学家毕达哥拉斯 （学派）发现。相传因这 一发现，曾宰牛百头庆贺， 此定理也称为“百牛定理”
❖ 该学派最大的特点是宣称 宇宙万物的主宰者(上帝)用 数来统御宇宙,认为万物包 含数,即:“万物皆数”(这里 的数是指整数与整数之比).
❖ 欧几里得（Euclid of Alexandria; 约 325 B.C. 约 265 B.C.）
❖ 欧几里得的《几何原本》 是用公理方法建立演绎 体系的最早典范。
❖ 此就是取材自《几何原 本》第一卷的第 47 命題。
欧几里得与《几何原本》
❖欧几里得的《几何原本》是
古希腊数学成果、思想、方 法和精神的结晶。是整个科 学史上发行最广使用时间最 长的书，成为数学的“圣 经”。
《九章算术》
《九章算术》是一部问题集 形式的算书，共246个问题， 采用“问、答、术”的形式 进行编排，共202术，按不同 算法的类型，分为九章。
方田 粟米 衰分 少广 商功 均输
盈不足 方程 勾股
a2 b2
a2 + b2 = c2 c2
（三）毕达哥拉斯证法
（四）欧几里得证法
第一次数学危机
▪ 起因:无理数的发现(希帕苏斯悖论)
▪ 解决:
欧多克斯,创立了比例论,暂时消除了由无理数引起的第一 次数学危机; 直至1872年，现代实数理论的奠基人之一的狄德金（德国） 提出了狄德金分割，给出了无理数与连续性的纯算术的定 义。
▪ 意义：直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠
三、勾股定理的证明
由于勾股定理的重要性，尽管该定理早 已被证明，许多人仍然愿意探索该定理的新 证明。据初略统计，世界上已有400余种证 明勾股定理的方法。
仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十 多种精彩的证法。
这一定理证明方法之多是任何其他定理 无法比拟的。
重点介绍几种特殊而优美的证法
（一）赵爽证法 （二）刘徽证法 （三）毕达哥拉斯证法 （四）欧几里得证法 （五）总统证法
《周髀算经》(西汉, 约公元前200年)
《周髀算经》卷上记载西周开国 时期（约公元前1100年）周公 与大夫商高讨论勾股测量的对 话，商高答周公问时提到“勾 三， 股四，经五”，这是勾 股定理的特例。
卷上另一处叙述周公后人荣方 与陈子（约公元前6、7世纪） 的对话中，则包含了勾股定理 的普遍形式：“……以日下为 勾，日高为股，勾股各自乘， 并而开方除之，得邪至日。”
中国数学史上最先完成勾股 定理证明的是三国时期的赵 爽（公元3世纪）。 赵爽 在《周髀算经注》中，采用 证明几何问题的割补原理， 利用“弦图”，证明了勾股 定理。
第24届“国际数学家大会”（ICM）
International Congress of Mathematicians
第24届“国际数学家大会”会标a bc源自c a比较：b a
c
四、勾股定理的文化意义
❖ 人类认识世界、改造世界最初级的重要工具之一。 ❖ 战国时期一部古籍《路史后记十二注》中就有这
样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川之形， 定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之 患，此勾股之所系生也。” ❖ 这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使江河 不决流，根据地势高低，决定水流走向，因势利 导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害， 是应用勾股定理的结果。 ❖ 勾股定理产生于生活，并应用于实践
《勾股定理》
“勾股定理”是我们最熟悉的平面几何 中的一个最著名、最精彩、最有用的一 条定理，是数学大厦的一块基石，被天 文学家开普勒誉为几何学的一大宝藏。
一、《周髀算经》与“勾股定理”
《周髀算经》是中国现存 最早的一部数学典籍，成 书时间大约在两汉之间 。
《周髀算经》是一部天文 著作，为讨论天文历法， 而叙述一些有关的数学知 识，其中重要的题材有勾 股定理、比例测量与计算 天体方位所不能避免的分 数四则运算。