曲线正交曲线坐标系()w v u ,,，每一点的单位正交标架()w v u e e e
,,构成右手系，
微分弧与曲线坐标的关系为()()()()2
2
2
2
dw h dv h du h ds w v u ++=
散度：
在直角坐标系下用高斯公式：()S d A dV A V
V
∙=
∙∇⎰
⎰∂
换成曲线正交坐标系下可得：
()⎰
⎰++=
∙∇∂dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A udvdw d h
h h A v u w u w v w v u D
w
v
u
D
右边应用高斯定理的：
()()()udvdw d w h h A v h h A u h h A dudv
h h A dwdu h h A dvdw h h A v u w u w v w v u D v u w u w v w v u D
⎰
⎰
⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=
++∂
所以：()()()()dudvdw w h h A v h h A u h h A dudvdw h h h A D v u w u w v w v u D
w v u ⎰⎰
⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=
∙∇
比较得曲正交标架下的散度公式：()()()⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=
∙∇w h h A v h h A u h h A h h h A v u w u w v w v u w v u 1
旋度：
直角坐标下用斯托克斯公式：()⎰
⎰
∂∙=
∙⨯∇S
S
l d A S d A
换成曲线正交坐标系下可得：
()()()dw
h A dv h A du h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A w w v v D
u u v u w D
u w v w v u ++=
⨯∇+⨯∇+⨯∇⎰
⎰∂
右边应用斯托克斯公式：
()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dw
h A dv h A du h A u u v v D w w u u v v w w w w v v D
u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++⎰⎰
∂
所以：
()()()()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dudv
h h A dwdu h h A dvdw h h A u u v v D w w u u v v w w v u w D
u w v w v u ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇+⨯∇+⨯∇⎰⎰
对比两边可得旋度在曲正交标架下公式。

梯度：
有梯度的定义梯度等于个方向的方向导数乘以该方向的单位向量：
w w v v u u e w
h e v h e u h
∂∂+∂∂+∂∂=
∇ϕϕϕϕ。