j+ p
其中ai+p=ai(以 p 为周期),以上两序列的对应项相乘然后相加,
a1 a j +1 + a2 a j + 2 + a3 a j +3 + a p a j + p = ∑ ai a j +i
i =1
p
来衡量一个m序列与它的j次移位序列之间的相关程度,并把 它叫做m序列(a1,a2,a3,…,ap)的自相关函数.记作
S C = B log 2 1 + N
这个公式表明,在保持信息传输速率不变的条件下,信噪比 和带宽之间具有互换关系.就是说,可以用扩展信号的频谱 作为代价, 换取用很低信噪比传送信号,同样可以得到很低 的差错率.
扩频系统有以下特点: (1) 具有选择地址能力; (2) 信号的功率谱密度很低, 有利于信号的隐蔽; (3) 有利于加密, 防止窃听; (4) 抗干扰性强; (5) 抗衰落能力强; (6) 可以进行高分辨率的测距. 扩频通信系统的工作方式有:直接序列扩频,跳变频率 扩频, 跳变时间扩频和混合式扩频.
j=整数
R(j) 1
-P
-3 -2 -1 0
1
2
3
P-1 P j
图 10-3 m序列的自相关函数
10.2.5 伪噪声特性 如果我们对一个正态分布白噪声取样, 若取样值为正, 记 为+1,取样值为负,记为-1,将每次取样所得极性排成序列, 可以写成 …+1,-1,+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1,… 这是一个随机序列,它具有如下基本性质: (1) 序列中+1 和-1 出现的概率相等; (2) 序列中长度为 1 的游程约占 1/2, 长度为 2 的游程约占 1/4,长度为 3 的游程约占 1/8, … 一般地, 长度为k的游程约占 1/2k,而且+1, -1 游程的数目各占一半; (3) 由于白噪声的功率谱为常数,因此其自相关函数为一冲 击函数δ(τ).
第10章 伪随机序列
10.1 m序列的产生 序列的产生 10.2 m序列的性质 序列的性质 10.3 m序列的应用 序列的应用
10.1 m序列的产生 序列的产生
10.1.1 线性反馈移位寄存器
+ + +
c 0=1 1 a n-1
c1 2 a n-2
c2 n-1 a1
c n-1 n
c n=1
a0
输出 a k
R( j) =
∑aa
i =1 i
p
j+i
当采用二进制数字 0 和 1 代表码元的可能取值时
A D A D R ( j) = = A+ D p
R ( j) =
[ a i ⊕ a i + j = 0 ]的数目 [ a i ⊕ a i + j = 1的数目 ] p
由移位相加特性可知, a
式(10-7)分子就等于m序列中一个周期中 0 的数目与 1 的数目 之差. 另外由m序列的均衡性可知, 在一个周期中 0 比 1 的 个数少一个, 故得A-D=-1(j为非零整数时)或p(j为零时). 因此 得 1 R ( j) = 1 p
10.3 m序列的应用 序列的应用
10.3.1 扩展频谱通信
信码 调制 d(t) Acos ωct 载波 n(t) 噪声 × + × 带通 解调 d(t) 信码
扩频函数
解扩函数
图 10-4 扩展频谱通信系统
扩展频谱技术的理论基础是山农公式.对于加性白高斯噪 声的连续信道,其信道容量C与信道传输带宽B及信噪比S/N之 间的关系可以用下式表示
dk
× PNk
× cos ωct
延迟τk
图 10-7 码分多址扩频通信系统模型
10.3.3 通信加密
信源
X1
E + Y 发送 信道 接收
E + Y
X1
用户
m序列 产生器
m序列 产生器
图 10-8 利用m序列加密
1 原始信码 X1 1 m序列 Y 0 加密输出 E 1 解密输出 X1
0
1
1
0
1
0
0
10.2.2 游程特性 游程分布的随机性 游程特性(游程分布的随机性 游程分布的随机性)
我们把一个序列中取值(1 或 0)相同连在一起的元素合称 为一个游程.在一个游程中元素的个数称为游程长度.例如 图 10-2 中给出的m序列 {ak}= 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 … 在其一个周期的 15 个元素中,共有 8 个游程, 其中长 度为 4 的游程一个, 即 1 1 1 1; 长度为 3 的游程 1 个, 即 0 0 0; 长度为 2 的游程2个, 即1 1 与 0 0; 长度为 1 的游程 4 个, 即 2 个 1 与 2 个 0.
0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 …
0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 …
图 10-2 m序列产生器
10.2 m 序列的性质
10.2.1 均衡特性 平衡性 均衡特性(平衡性 平衡性)
m序列每一周期中 1 的个数比 0 的个数多 1 个. 由于 p=2n-1 为奇数,因而在每一周期中 1 的个数为(p+1)/2=2n-1为 偶数,而0 的个数为(p-1)/2=2n-1-1 为奇数.上例中p=15, 1 的 个数为 8,0 的个数为 7.当p足够大时,在一个周期中 1 与 0 出现的次数基本相等.
10.2.4 自相关特性
m序列具有非常重要的自相关特性.在m序列中,常常用 +1代表 0,用-1代表 1. 此时定义:设长为 p的m序列, 记作
a1 , a 2 , a 3 , , a p ( p = 2 1)
n
经过j次移位后,m序列为 j m
a
利用所得的总和
j +1
,a
j+ 2
,a
j+3
, , a
若经k次移位,则第一级的输入为
n
∑ca
i =1 i
n
n i
al = ∑ ci al i
i =1
其中,l=n+k-1≥n, k=1,2,3,…
2. 线性反馈移位寄存器的特征多项式 线性反馈移位寄存器的特征多项式 用多项式f(x)来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态:
n
f ( x ) = c 0 + c1 x + + c n x =
n
∑c x
i=0 i
i
若一个n次多项式f(x)满足下列条件 (1) f(x)为既约多项式(即不能分解因式的多项式); (2) f(x)可整除(xp+1), p=2n-1; (3) f(x)除不尽(xq+1), q<p. 则称f(x)为本原多项式.
10.1.2 m序列产生器 序列产生器
现以n=4为例来说明m序列产生器的构成.用 4 级线性反 馈移位寄存器产生的m序列,其周期为p=24-1=15,其特征多 项式f(x)是 4 次本原多项式,能整除(x15+1).先将(x15+1)分解 因式,使各因式为既约多项式,再寻找f(x).
i
⊕ ai + j 仍是m序列中的元素,
所以
j=0 j = ± 1, ± 2, , ± ( p 1)
m序列的自相关函数只有两种取值(1和-1/p).R(j)是一个周期函数,即
R ( j ) = R ( j + kp )
式中,k=1,2 j) = R ( j)
4. 混合式扩频方式 混合式扩频方式 在实际系统中,仅仅采用单一工作方式不能达到所希望 的性能时,往往采用两种或两种以上工作方式的混合式扩频. 如FH/DS, DS/TH, FH/TH等.
10.3.2 码分多址 码分多址(CDMA)通信 通信
d1
× PN1 …
× cos ωct
延迟τ1 ∑ …
n(t) + × cos ωct × PNi ∫ di
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
图 10-9 数字信号的加密与解密
10.3.4 误码率的测量
m序列 发生器
数传机 发送端
信道
数传机 接收端
+
误码 计数器
m序列 发生器
图 10-10 误码率测试
�
1. 直接序列扩频方式 直接序列扩频方式 图
频
VCO
VCO 接 a
序列
频
10 5 直 扩 系 统 方 框 图 和 扩 频 信 号 传 输 图
-
b
2. 跳变频率扩频方式
伪噪声 发生器 d(u,t) 信 源
1
频 率 合成器
2
混频器 4 频 率 合成器 3
中频带通 5 滤 波 器 到解调器
伪噪声 发生器
x15 + 1 = ( x + 1)( x + x + 1)( x + x + 1)
2 4
( x + x + 1)(( x + x + x + x + 1)
4 3 4 3 2
+
a3
1
a2
2
a1
3
a0
4
ak
1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 …
0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 …