第 11章 伪随机序列及编码
例：设 n ＝ 4，m = 24 – 1 = 15 通过穷举法，可找出所有可整除 x15 1 的多项式：
x15 1 x4 x 1 x4 x3 1 x4 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1
通过穷举法，还可证明，在 n ＝ 4 的多项式中： x4 x 1 x4 x3 1
H8

H4 H 4
H4 H
4


1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
1

1 1 1 1 1 1 1 1


1 1 1 1 1 1 1 1
第 11章 伪随机序列及编码
11.6 伪随机序列的应用
一阶Hadamard矩阵
H1 1
高阶Hadamard矩阵的递推公式为：
HNm


H H
N N
m1 m1
其中Nm 2m
H Nm1 H Nm1

Nm1 2m1
m 0、1、2、3
第 11章 伪随机序列及编码
例：
H2

H1

H1
H1 H1
是本原多项式。而 x4 x3 x2 x 1 不是本原多项式。
因为有 x5 1 x4 x3 x2 x 1 x 1
即其可整除 q ＝ 5 < 15 的因式 x5＋1
第 11章 伪随机序列及编码
以 f (x) (x4 x 1) 为特征多项式，得到如下的m序列产生
其中：A 码组x与其移位码字间对应码元相同个数 Ｄ 码组x与其移位码字间对应码元不同个数
xi {0,1}
第 11章 伪随机序列及编码
５．狭义伪随机码：若
x
2 i
/
p
1
x ( j)
xi xi j / p＝
xi xi j
/
p


1 p
则为狭义伪随机码
j 0 j0
第 11章 伪随机序列及编码
3、随机序列的自相关类似于白噪声自相关函数的性质
第 11章 伪随机序列及编码
本章内容在数字通信系统中所处的位置：
第 11章 伪随机序列及编码
11.２ 正交码与伪随机码
11.２.1基本定义
１．码组的互相关函数：
码组x=（x1, x2….xn) 和y=（y1, y2….yn) ， 则其相关 函数为：
扩频通信； 加密 扰码 误码测量 码分多址等
第 11章 伪随机序列及编码
11.6 伪随机序列的应用
11.6.1 扩展频பைடு நூலகம்通信
1.扩频通信的理论基础
香农公式：对于加性白高斯噪声的连续信道，其信道容
量C与信道传输带宽B及信噪比S/N之间的关系为：
C

B
log
2
1

S N

说明：在保持最大的无误信息传输速率（C）不变的 条件下，信噪比和带宽之间具有互换关系。即可用扩展信号 的频谱作为代价， 换取用很低信噪比传送信号。
( x, y) xi yi / p
其中：p=n 称为周期 i 1, 2,..., n xi , yi {1, 1}
第 11章 伪随机序列及编码
或
(x, y) A D A D A D p
其中：A 两码组对应码元相同个数
Ｄ 两码组对应码元不同个数
xi , yi {0,1}
第 11章 伪随机序列及编码
3. 移位相加特性（线性叠加性） 一个周期为P的m序列mP与其任意次移位后的序列mr模二相
加，所得序列mS必是mP某次移位后的序列，即mr仍是周期为P 的m序列。
m序列：…000111101011001000111101011001000… +) 左移4：…111010110010001111010110010001111…
2 an－2
n－1 a1
cn－1 n
a0
cn＝1 输出 ak
第 11章 伪随机序列及编码
1. 线性反馈移位寄存器的递推关系式
an C1an1 C2an2 C3an3 Cna0
C a n
i1 i ni
mod 2
2. 线性反馈移位寄存器的
P298公式10-15
用多项式f(x)来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态：
第 11章 伪随机序列及编码
11.4 m序列
11.4.1 概念
m序列：由n级线性移位寄存器产生的最大周期的序列（最大 长度序列） ，其周期为：2n-1 （经历除全零外的所有可能状 态的）
反馈移位寄存器输出序列周期越长，越接近随机序列。
11.4.2 m序列产生的条件 找到相应的反馈逻辑
若改变起始状态，只能改变m序列的起始相位，而周期序列排 序规律不变。
(3) 由于白噪声的功率谱为常数，因此其自相关函数为一冲击函数δ(τ)。
把m序列与上述随机序列进行比较，当周期p很大时，m序列与 随机序列的性质十分相似。
第 11章 伪随机序列及编码
11.5 沃尔什码
沃尔什码：是完备的正交码集合，它的正交特性在CDMA中得 到了广泛的应用。
可由哈达马矩阵的行或列构成
左移3 ：…111101011001000111101011001000111…
第 11章 伪随机序列及编码
4． 自相关特性
自相关函数R(i)是周期函数：
R(i)

P 1
i0 otherwise
规一化
R(i)

1

1 P
R(j)
1
i0 otherwise
－P
－3 －2 －1
例：m序列： 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0000 1 00 11 0 1 0 1111 1
第 11章 伪随机序列及编码
2 ．游程特性(游程分布的随机性)
m序列的一个周期(p=2n-1)中，游程总数为2n-1。 长度为k的游程个数占游程总数的 1/2k=2-k，其中 1≤k≤(n-2)。 在长度为k 游程中，连 1游程与连 0 游程各占一半，长为 (n-1)的游程是连 0 游程， 长为 n 的游程是连 1 游程。
＋
c0＝1
an－1
an－2
an－３
an－４
图 11-1 线性反馈移位寄存器
输出 ak
第 11章 伪随机序列及编码
正状态（状态）：各级移位寄存器的寄存数从右至左的顺 序排列（逆着移位脉冲的方向）。 由于带有反馈，因此在移位脉冲作用下，移位寄存器各级 的状态将不断变化 通常移位寄存器的最后一级做输出，输出序列为
11.4.4 m序列的性质
1． 均衡特性(平衡性)：
m序列每一周期中 1 的个数比 0 的个数多 1 个， 在每一周期中 1 的个数为偶数， ( p 1) / 2 2n1 0 的个数为奇数， ( p 1) / 2 2n1 1 当p足够大时，在一个周期中 1 与 0 出现的次数基本相等。
第 11章 伪随机序列及编码
11.4.3 m序列产生器
下图给出了产生m序列的线性反馈移位寄存器的一般结构图：
1、起始状态为： a0a1 an2an1 2、c0 cn 1 ci 1表示此线接通，参与反馈；
ci 0表示此线断开，不参与反馈；
＋
＋
＋
c0＝1
c1
c2
1
a an－1 n
时钟节拍
an-1
an-2
an-3
0
0
0
0
1
1
0
0
2
0
1
0
3
0
0
1
4
1
0
0
5
1
1
0
6
0
1
1
7
1
0
1
8
0
1
0
9
1
0
1
10
1
1
0
11
1
1
1
12
1
1
1
13
0
1
1
14
0
0
1
15
0
0
0
an-4
1
0
0
0
1
0
输
0
出
1
1
0
1
0 1 1 1
1
第 11章 伪随机序列及编码
4. 结论 线性移位寄存器的输出序列是一个周期系列 初始状态是０时，输出序列也是零； 级数相同的线性移位寄存器的输出序列与寄存器的反 馈逻辑有关； 输出序列与初始状态有关； 序列周期p<＝2n-1（n为移位寄存器的级数）;
12 3
P－1 P
0
j
第 11章 伪随机序列及编码 5. 伪噪声特性
对一个正态分布白噪声取样， 若取样值为正， 记为+1，取样值为负， 记为-1，将每次取样所得极性排成序列， 可以写成
…+1,-1,+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1,… 这是一个随机序列， (1) 序列中+1 和-1 (2) 序列中长度为 1 的游程约占 1/2， 长度为 2 的游程约占 1/4，长度为 3 的游程约占 1/8, … 一般地， 长度为k的游程约占1/2k，而且+1, -1 游程的数目
随机序列：既不能预先确定也不能重复实现的序列，性能 与噪声性能类似（噪声序列）。
伪随机序列：貌似随机序列的确定序列（伪随机码、伪噪 声序列、ＰＮ码） 作用：误码率的测量、通信加密、数据序列的扰码和解码、 扩频通信等。