第42课 三角形中的最值问题考点提要1．掌握三角形的概念与基本性质．2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．基础自测1．（1）△ABC 中，cos A A =，则A 的值为 30° 或90° ；（2）△ABC 中，当A=3π 时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值 32． 2．在△ABC 中，m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=，则m 的取值范围是 21>m ． 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==，令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==，由b c a c b a >+>+,，得21>m ． 3．锐角三角形ABC 中，若A=2B ，则B 的取值范围是 30º＜B ＜45º ．4．设R ，r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则rR1． 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，若23b ac =，则B 的取值范围是 0°＜B ≤120° ．6．在△ABC 中，若A>B ，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ．①A sin >B sin ； ②A cos <B cos ； ③A 2sin >B 2sin ； ④A 2cos <B 2cos ． 解 A>B ⇔a >b A R sin 2⇔>B R sin 2⇔A sin >B sin ，故①正确；A cos <B cos ⇔)2sin(A -π<)2sin(B -π⇔A>B ，故②正确（或由余弦函数在(0,)π上的单调性知②正确）；由A 2cos <B 2cos ⇔212sin A -<212sin B -⇔A sin >B sin ⇔A>B ，故④正确．知识梳理1．直角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，C=90°，若内切圆的半径为r ，则2a b c r +-=． 2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用．例题解析例1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值．点评例2 已知△ABC 中，1,2a b ==．（1）求最小内角的最大值； （2）若△ABC 是锐角三角形，求第三边c 的取值范围．解 （1）由三角形三边关系得第三边c 满足122112c,c ,c ,+>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩解得13c <<，故最小内角为A ．又22223131cos 24442b c a c A c bc c c +-+===+⨯=()≥（当且仅当c =，所以A ≤30°，即最小内角的最大值为30°．（2）因为△ABC 是锐角三角形，即A ，B ，C 三个角均为锐角，又因为a ＜b ，所以A ＜B ，故只需说明B ，C 为锐角即可．由B ，C 为锐角得0<cos 10<cos 1B ,C ,<⎧⎨<⎩ 即221401214014c ,c c ,⎧+-<<⎪⎪⎨+-⎪<<⎪⎩c <<．点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件．另外要注意变形的等价性，如“内角A 为锐角0<1cos A ⇔<”．例3 （2008江苏）求满足条件BC AC AB 2,2==的△ABC 的面积的最大值．解 设BC ＝x ，则AC．根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⨯= 根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有2,2,x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当212,x x ==时ABC S ∆= 点评例4 如图，已知∠A=30°，P ，Q 分别在∠A 的两边上，PQ=2．当P ，Q 处于什么位置时，△APQ 的面积最大并求出△APQ 的最大面积．点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数．例5 已知△ABC 的周长为6，||,||,||BC CA AB u u u r u u u r u u u r成等比数列，求：（1）△ABC 的面积S 的最大值； （2）BC BA ⋅的取值范围．解 设||,||,||BC CA AB u u u r u u u r u u u r依次为a ，b ，c ，则a +b +c =6，b 2 =ac ．由622a c bb ac +-==≤得02b <≤（当且仅当a =c 时，等号成立）， 又由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--===≥（当且仅当a =c 时，等号成立），故有03B π<≤，（1）22111sin sin 2sin 32223S ac B b B π==⋅⋅=≤，即max 3S =（当且仅当a =b =c 时，等号成立）；（2）22)(2cos 22222b ac c a b c a B ac BC BA --+=-+==⋅222(6)3(3)272b b b --==-++． 02,218b BA BC <⋅<∴u u u r u u u rQ ≤≤．点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解．（1）为不等式问题，（2）为函数问题．方法总结1．三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的范围，根据余弦函数的单调性处理．要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系．2．三角形中边的最值（范围）问题，主要由有三角形三边关系决定．3．三角形中面积的最值（范围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的范围．练习42 三角形的最值问题班级 姓名 学号1．若直角三角形斜边的长m （定值），则它的周长的最大值是 m ．2．在锐角△ABC 中，若2C B =，则ACAB解 B B B C AC AB sin 2sin sin sin ==B cos 2=，而46ππ<<B ，32<<ACAB ．3．在△ABC 中，若1b ==，则A 的取值范围是 0º＜B ≤45º ．4．若2、3、x 分别是锐角三角形的三边长，则x 的取值范围是 )13,5( ．5．若三角形两边之和为16 cm ，其夹角为60º周长的最小值是 24 ．6．已知△ABC 中，A = 60°，BC = 4，则AB + AC 的最大值为___．7．钝角三角形的三边为2,1,++a a a ，其中最大角不超过120°，则a 的取值范围是332a <≤ ． 解 由题意钝角三角形中，2+a 为最大边且最大角不超过120°，因此得2)1(+>++a a a ①，222)2()1(+<++a a a ②，222121cos 212a (a )(a )A a(a )++-+=-+≥ ③，由①得1>a ，②得31<<-a ，③得a ≤1-或a ≥23，故23≤3<a ． 8．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB =9，S △COD =16，则四边形面积的最小值是 49 ．9．（2006全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 610 cm 2． 解 由题意可围成以下几种三角形． 图（1）中，115cos sin 4,θθ==，415S =； 图（2）中，210210sin AD ,θ==，610S =； 图（3）中，13cos sin 22,θθ==，103S =．比较 上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为610cm 2．点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大．这是等周问题中的一个基本结论．可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，6．10．在△ABC 中，已知223coscos 222C A a c b +=． （1）求证：a 、b 、c 成等差数列； （2）求角B 的取值范围．解11．如图，正方形ABCD 的边长为a ，E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，∠EAF=30°，求△AEF 面积的最小值．解 设△AEF 的面积为S ，∠BAE=θ（15º≤θ≤45º），则由∠EAF=30°得∠DAF=60θ-o． ∵正方形ABCD 的边长为a ， ∴在Rt △BAE 中，cos cos AB aAE θθ==； 在Rt △DAF 中，cos(60)cos(60)AD aAF θθ==--o o ，∴1sin 2S AE AF EAF =⋅⋅∠ 21sin302cos cos(60)4cos cos(60)a a a θθθθ=⋅⋅⋅=--o o o22 22==22==22==2222sin(230)12sin(23030)13a a aθ==++⨯++o o o≤．12．（2008四川延考）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是,,a b c，已知2222a c b+=．（1）若4Bπ=，且A为钝角，求内角A与C的大小；（2）若2b=，求△ABC面积的最大值．解（1）由题设及正弦定理，有222sin sin2sin1A C B+==．故22sin cosC A=．因A为钝角，所以sin cosC A=-．由cos cos()4A Cππ=--，可得sin sin()4C Cπ=-，C=8π，A=58π．（2）由余弦定理及条件2221()2b a c=+，有22cos4a cBac+=，故cos B≥12．由于△ABC面积1sin2ac B=，又ac≤221()42a c+=，sin B当a c=时，两个不等式中等号同时成立，所以△ABC面积的最大值为1422⨯⨯=．备用题1．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值为 21- ．2．在△ABC 中，已知sin 2A + sin 2B = 5sin 2C ，求证：3sin 5C ≤． 解 等式sin 2A + sin 2B = 5sin 2C 立即联想正弦定理，有a 2+b 2=5c 2． 而a 2+b 2=5c 2与余弦定理连起来也无可非议． ∵c 2= a 2+b 2－2ab cosC ，∴5c 2= c 2+2ab cosC ，∴4c 2=2ab cosC ．于是可知cosC ＞0，C 为锐角，而5c 2= a 2+b 2≥2ab ， 故4c 2=2ab cosC ≤5c 2cosC ． ∴cosC ≥45，∴sinC ≤35． 点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过程中．3．已知△ABC 的内角满足)cos (cos sin sin sin C B A C B +=+． （1）求A ； （2）若△ABC 的面积为4，求△ABC 周长的最小值．4．如图，边长为a 的正△ABC 的中心为O ，过O 任意作直线交AB 、AC 于M 、N ，求2211ON OM +的最大值和最小值． 答案 最大值218a 、最小值215a．5．如图∠A = 90°，∠B = α，AH = h ，α，h 为常数，AH ⊥BC 于H ，∠AHE=∠AHD =x ，问当x 取何值时，△DEH 的面积最大并求出最大面积．。