高中数学用构造法解题
一、构造函数
例1、（1）在实数范围内解。

（2）解不等式
分析：方程与不等式都是高次的，展开求解不现实，分别作适当变形，然后构造函数，再利用函数的单调性和奇偶性解题。

解析：（1）原方程变形为。

设函数，上述方程即为。

由于在上是单调增函数，故若，则必有
成立。

因此，即，故原方程有唯一解。

（2）设，，易证f(x)在区间上为增函数。

，
为奇函数，从而f(x)在区间上为增函数，
原不等式可化为，即，即。

二、构造一元二次方程
例2、已知三内角A、B、C的大小成等差数列，且，求A、B、C的大小。

分析：由根与系数的关系来构造一元二次方程是最常见的思路。

解析：由题知，联想到，由A、B、C成等差数列，得，故。

是方程的两根，得。

当A<C时，，得；当时，，得，，。

三、构造数列
例3、已知，求满足的正整数n的取值范围。

解析：
因此可知数列是以为首项，以为公比的等比数列。

，得。

所求n的取值范围是。

四、构造几何图形
例4、试证：对任何，都有
，当有仅当时等号成立。

解析：观察题目特点，从联想到余弦定理，可以构造三角形，同理，另两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明。

根据题意构造图形（如上图），其中AB=a，BC=c，BD=b，，由余弦定理得：
在中，，则。

但当A、D、C三点共线时等号成立，此时，，即。

，即
例5、设关于的方程在区间（0，）内有相异的两个实根。

求实数a的取值范围。

分析：运用数形结合思想，将代数问题构造平面图形后，用平面解析几何的有关知识解题。

解析：设，则由题设知，直线与圆有两个不同的交点A（）和B（）。

即原点O到直线的距离小于1，即。

解得：。

又因为、，且，直线不过点（1，0），即。

所以，即。