自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS
(a,b) RS (a,b) R (a,b) S (b,a) R (b,a) S (b,a) RS 或者由RS= (RS)-1得证
(a,b) RS (a,b) R (a,b) S (b,a) R (b,a) S (b,a) RS 或者由(RS) (RS)-1 IA得证
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS
RS
R-S
R°S
例如A={0, 1}
R={(0,1)}, S={(1,0)} R°S ={(0,0)}
例如A={0, 1}
R={(0,0)}, S={(0,1), (1,0)} R°S ={(0,1)}
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：
习题四 6
设在整数集合上定义了如下关系：确定其满足的性质
xRy x | y
自反性 反自反 对称性 反对称 传递性
性
性
习题四 6
设在整数集合上定义了如下关系：确定其满足的性质
xRy x | y
自反性 反自反 对称性 反对称 传递性
性
性
xRy x≡y(mod n)
习题四 6
设在整数集合上定义了如下关系：确定其满足的性质
例如A={0, 1} R={(0,1)}, S={(1,0)}
RS ={(0,1), (1,0)}
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS
RS
R-S
R°S
例如A={0, 1} R={(0,1), (1,1)} S={(1,0), (1,1)} R°S ={(0,0),(0,1), (1,0), (1,1)}
例如A={0, 1, 2, 3, 4} R={(0,1), (2,3)} S={(1,2), (3,4)} R°S ={(0,2),(2,4)}
性
性
xRy x≡y(mod n)
xRy xy>0
xRy xy≥0
xRy x=y | |x-y|=1
xRy x2>y2
习题四 7
设R是集合上的一个二元关系， xRy yRz xRz ,称R是A上的 一个反传递关系。试举一个实际的反传递关系的例子。
解：
例如：设A={a, b, c, d}
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS Biblioteka RS 例如A={0, 1} R={(0,1)}, S={(1,0)}
RS ={(0,1), (1,0)}
则 R1={(a, b), (b, d), (d, c)} 反传递
R2={(a, b), (a, c), (d, b)} 反传递、传递
R3 ={(a, a), (a, b), (b, c)} 不是反传递
R4 ={(a, a), (b, c)}
不是反传递
传递和反传递不是绝对互相排斥
实际中，如“父子关系”， “X=Y+1”关系等。
设在整数集合上定义了如下关系：确定其满足的性质
xRy x | y
自反性 反自反 对称性 反对称 传递性
性
性
xRy x≡y(mod n)
xRy xy>0
xRy xy≥0
xRy x=y | |x-y|=1
习题四 6
设在整数集合上定义了如下关系：确定其满足的性质
xRy x | y
自反性 反自反 对称性 反对称 传递性
xRy x | y
自反性 反自反 对称性 反对称 传递性
性
性
xRy x≡y(mod n)
xRy xy>0
习题四 6
设在整数集合上定义了如下关系：确定其满足的性质
xRy x | y
自反性 反自反 对称性 反对称 传递性
性
性
xRy x≡y(mod n)
xRy xy>0
xRy xy≥0
习题四 6
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS
(a,b) RS (b,c) RS (a,b) R (a,b) S (b,c) R (b,c) S (a,c) R (a,c) S (a,c) RS
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS
RS
R-S
R°S
R
例如A={a, b,c}
若R= {(a,a),(b,c)}
RS
RS
R-S
例如A={0, 1} R={(0,1), (1,2), (0,2)}, S={(0,2)}
R-S ={(0,1), (1,2)}
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：
习题四 9
判定满足下述每一种条件的关系是否存在，如果存在，举例 说明。
（1）既自反又反自反。 答：不存在
（2）既对称又反对称。 答：存在，例如IA
（3）既传递又反传递。 答：存在
（4）既自反、反对称、又传递。 答：存在，例如正整数集合上的整除关系。
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：