定义3.1.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元 素，则称B为A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包 含B。记作B⊆A。包含的符号化表示为
B A ( x) ( x B x A)
例：设A={1,2,3,4,5,6,}, B={2,4,5,}及C={1，2，3，4，5} 定义3.1.2（外延性原理）设A，B为集合，如果B⊆A且A⊆B， 则称A与B相等，记作A=B。相等的符号化表示为
x 则 x A B或x A C ， A且x B或x A且x C ，即 x A且x B C, 于是x A ( B C ) 所以 ( A B) ( A C ) A ( B C ) 因此 ( A B) ( A C ) A ( B C )
离散数学
第一章 集合的基本集合的基本概念和运算
1.1 1.2 1.3 1.4 集合的基本概念 集合的基本运算 集合中元素的计数 笛卡尔乘积
1.1 集合的基本概念
集合是不能精确定义的基本的数学概念，直观地讲，集合是 由某些可以相互区别的事物汇集在一起所组成的整体。对于给定 的集合和事物，应该可以断定这个特定的事物是否属于这个集合。 如果属于，就称它为这个集合的元素。 集合通常用大写的英文字母来表示。 集合有两种表示方法：枚举法和谓词表示法。前一种方法是 将集合中的所有元素罗列出来，元素之间用逗号隔开，并把它们 用花括号括起来。例如 A {a, b, c} ， {1, 2, 3, ...}， {春， 秋， }，都是合法的表示。 C 夏， 冬 B 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如 2 } F D {x | x是学生 ， {x | x是整数 ， {x | x R x 1 0} } E 一般的 A={x︱R(x)} R(x)表示x具有性质R，表示任何谓词 集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。集合的元素也是无序的，元素的排列顺序 对集合没有影响。
则
AC B C
集合的交运算具有以下性质： 1. A A A 2. A 3. A E A 4. A B B A 5. (A B) C A (B C) A (x 证明： (B C) = {x ︱ A) ( x B C) } ( A B) C ={x ︱ x ( A B) ( x C ) } ( A B) ( x C ) [ ( x A) ( x B) ( x C ) ] ( x A) [( x B) ( x C )] ( x A) ( x B C) 故 ( A B) C = A (B C) 此外还有 A B A A B B 定理 设A,B,C为三个集合，则下列分配律成立 a. A ( B C ) ( A B) ( A C ) b. A ( B C ) ( A C ) ( A C ) 证明：设 x A ( B C ), 则x A且x B C 即 x A且x B或x A且x C 故 x A B或x A C即x ( A B) ( A C ), A ( B C ) ( A B) ( A C ) 反之，若 x ( A B) ( A C )
1.1 集合的基本概念
集合的元素还可以允许时一个集合，例如： S={a，{1，2}，p，{q}} 但：q {q}, q S 又： {1，2，4}={1，2，2，4} {1，2，4}={1，4，2} 但， {{1，2}，4} {1，4，2}

{1，3，5，。。。} = {x|x是正奇数}
1.1 集合的基本概念
B A A BB A
由以上定义可知，两个集合相等的充分必要条件是它们具有 相同的元素。如 A {x | x是小于等于 的素数 ， B {x | x 2 x 3} 3 } 则A=B。
1.1 集合的基本概念
定义1.1.3设A，B为集合，如果B⊆A且B≠A，则称B是A的真 子集，记作B⊂A。真子集的符号化表示为 B⊂A⇔B⊆A∧B≠A 如果B不是A的真子集，则记作 B A 。例如{0, 1}是{0, 1, 2} 的真子集，但{0, 3}和{0, 1, 2}都不是{0, 1, 2}的真子集。 定义1.1.4 不含任何元素的集合叫做空集，记作Ø，空集可以 符号化表示为Ø={x | x≠x} 定理1.1.1 空集是一切集合的子集。 证明：任何集合，由子集定义有

第一章 集合的基本概念和运算
1.1 1.2 1.3 1.4 集合的基本概念 集合的基本运算 集合中元素的计数 笛卡尔乘积
1.2 集合的基本运算
1.2.1 集合的运算
1.2.2 集合运算算律
1.2.1 集合的运算
给定集合A和B，可以通过集合的并∪，交∩，相对补-，绝 对补～和对称差 等运算产生新的集合。 定义1.2.1设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A 的相对补集A-B分别定义如下： A B {x | x A x B} A B {x | x A x B} A B {x | x A x B} 显然A∪B由A或B中的元素构成， A∩B由A和B中的公共元素构 成， A-B由属于A但不属于B的元素构成。 把以上定义加以推广，可以得到n个集合的并集和交集，即
Ø A xx Ø x A
右边的蕴涵式中因前件 x Ø 为假，所以整个蕴涵式对一切x为真， 因此 Ø A 为真。
1.1 集合的基本概念
推论 空集是唯一的。 一般地，称集合A的子集Ø和A为A的平凡子集。
Ø A
A A
集合的包含具有下列性质 1.自反性： A A 2.反对称性 若 A B且B A则A B 3.传递性 A B且B C则A C 含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m个(m≤n)元素的子集称 作它的m元子集。任给一个n元集，如何求出它的全部子集呢？ 例3.1.4 A= {a, b, c}，求A的全部子集。 解： 将A的子集从小到大分类： 0元子集，即空集, Ø ； 1元子集，即单元集，{a}，{b}，{c}； 2元子集，{a, b}，{b, c}，{a, c}； 3元子集，{a, b, c}。 m 一般地，对n元集A，它的m(0≤m≤n)元子集有 Cn 个，不同的子 集总数有
A B {0, 1} {3} {0, 1, 3}
~ A E A {x | x E x A}
或
A B {0, 1, 2, 3} {2} {0, 1, 3}
集合之间的相互关系和有关运算可用文氏图给出形象的描述。
差运算具有以下性质： a.A-A= b.A-B=A- A B c.(A-B)-C=A-A ∪ B d.A ∪ (B-A)=A ∪ B
A1 A2 ... An {x | x A1 x A2 ... x An}
A1 A2 ... An {x | x A1 x A2 ... x An}

集合并的运算具有下列性质： 1. A A =A 2. A E =E 3. A =A 4. A B = B A 5. ( A B) C A ( B C ) B A B 6. A A B
0 1 2 n Cn Cn Cn ... Cn 2n
1.1 集合的基本概念
定义1.1.5 设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂 集，记作ρ(A)。幂集的符号化表示为 ρ(A) = { x | x⊆A} 对于例1.1.4中的集合A有ρ(A) ={ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}。 p( x) p( x) 定义1.1.6 在一个具体的问题中，如果所涉及的集合都是某个 集合的子集，则称这个集合为全集，记作E。 E={x | p( x) p( x) } 全集是有相对性的，不同的问题有不同的全集，即使是同一 个问题也可以取不同的全集。例如在研究平面上直线的相互关系 时，可以把整个平面（平面上所有点的集合）取作全集，也可以 把整个空间（空间上所有点的集合）取作全集。一般地，全集取 得小一些，问题的描述和处理会简单些。
定理 设A,B为任意两个集合，则下列关系式成立 a. A ( A B) ( A E ) ( A B) A ( E B) A b. A ( A B) ( A A) ( A B) A ( A B) A 定理 设 A B当且仅当A B B或A B A 证明 若 A B ,对任意 x A必有x B 对任意 x A B ,则 x A或x B, 故x B 所以 A B B 又 B A B 故得到 A B B 反之：若 A B B 因为 A A B 故 A B 同理可证 A B, iff A B A 例 设A={2,5,6},B={1,2,4,7,9} 则A-B={5,6} 例 设A使素数集合，B是奇数集合，A-B={2}
1.2.1 集合的运算
定义1.2.2 设U为全集， A⊆E，则称A对U的相对补集为A的绝对补集， 记作~A。 定义1.2.3 设A，B为集合，则A与B的对称差为 A B ( A B) (B A) A与B的对称差还有一个等价的定义，即 A B ( A B) (B A) 。 例3.2.1 A={0, 1, 2}，B={2, 3}，计算 A B
定理：如A,B为任意集合，则 A B 当且仅当 P(A) P(B)
证明：先证必要性 若 A B ，又x P(A)有 x A ，A B ,故x B， 从而x ∈P(B),即P(A) P(B) 再证充分性： 设P(A) P(B)，假设A B，那么至少有一 元素a ∈A且a B,设集合{a}，有{a}∈P(A)且 {a} P(B),与P(A) P(B)矛盾，故 A B