湍流的数值模拟一、引语流体的流动形态分为湍流与层流。

而层流是流体的最简单的一种流动状态。

流体在管内流动时，其质点沿着与管轴平行的方向作平滑直线运动。

此种流动称为层流或滞流，亦有称为直线流动的。

流体的流速在管中心处最大，其近壁处最小。

管内流体的平均流速与最大流速之比等于0.5，根据雷诺实验，当雷诺准数引Re<2320时，流体的流动状态为层流。

当雷诺数Re>2320时，流体流动状态开始向湍流态转变，湍流是一种很复杂的流动状态，是流体力学中公认的难题。

自从19世纪末O.Reynolds提出湍流的统计理论以来，已经有一个多世纪了，经过几代科学家的努力，湍流研究取得很大进展，但是仍然不能满足工程应用的需要，以至于经常有悲观的论调侵袭湍流研究。

为什么湍流问题没有圆满地解决会受到如此关注呢?因为湍流是自然界和工程中十分普遍的流动现豫，对于湍流问题的正确认识和模化直接影响到对自然环境的预测和工程的质量。

例如，当前影响航天器气动力和气动热预测准确度的主要障碍是缺乏可靠的湍流模型。

和其他一些自然科学的准题不同，解决湍流问题具有迫切性。

湍流运动的最主要特征是不规则性，这是大家公认的。

对于湍流不规则性的深入认识，是一百多年来湍流研究的上要成就之一。

早期的科学家认为，像分子运动一样，湍流是完全不规则运动。

类似于分子运动产生黏性，湍流的耗散可以用涡黏系数来表述。

20世纪初，一些杰出的流体力学家，相继对涡黏系数提出各种流体力学的模型，如Taylor(1921年)的涡模型，Praudtl(1925年)的混合长模型和von Karman(1930年)相似模型等。

当科学家用流体力学观念(不是分子观念)来建立湍流耗散的涡黏模型时，就开始考虑连续介质不规则运动的特点，其中有别于气体分子不规则运动的最主要特点是运动的多尺度性。

第一个提出流体湍流运动中多尺度输运特性的科学家mchardson(1922年)曾描述湍动能的多尺度传输过程如下：“大涡包含小涡，并喂予速度；小涡包含更小的涡，如此继续直到黏性耗散”。

多尺度的思想导致产生描述多尺度的谱概念和谱分析方法，并最终产生了Kolmogorov(1941年)的局部各向同性的通用谱(即5/3谱)。

湍流不仅是多尺度的而且是有结构的运动。

20世纪中叶，大量的湍流实验(包括测量和显示)发现多尺度的湍流运动存在某种特殊的运动状态。

Townsend(1951年)，Corrsin(1955年)和Lumley(1965年)等从脉动序列的间歇性和空间相关相继推测湍流结构的可能形态。

理论上也提出过各种湍涡的模型：球涡模型，柱涡模型等。

早期的湍流结构主要是从运动学上考虑，把旋涡结构作为湍流统计的样本。

我国的周培源教授是近代湍流模式的奠基人之一，他首先提出先解方程后平均的统计方法，就是说湍涡必须满足Navier—Stokes方程(Chou and Chou，1995年)。

真实的、可以观察到的湍流结构通过流动显示，以及稍后湍流直接数值模拟所证实。

典型的例子是混合层的Brown—Roshko涡(1976年)，图1明显地展示了混合层中存在规则的大涡和分布在大涡周围的细小湍涡。

在边界层、槽道和圆管湍流中也存在各式各样的大涡结构。

例如，用激光诱导荧光的显示方法，我们可以在圆管湍流中观察到周向（图2a）和流向大涡（图2b）。

值得提出的是，不仅在剪切湍流中有大涡结构，简单的均匀各向同性湍流中也存在涡结构。

图3展示的是各向同性湍流的直接数值模拟中强涡量等值面，它们是管状结构。

仔细分析还可以确定管状涡的平均长度约等于各向同性湍流的积分尺度，它们的平均直径约等于湍流TayLor微尺度，更进一步分析可以算出管状涡内部的平均速度场，它们接近于Burgers涡，即有轴向拉伸的柱状涡，在管状涡之间错综复杂地分布着各种尺度的树叉结构。

所有以上发现充分说明：无论是简单还是复杂湍流，都存在一定的涡结构．大尺度结构的发生是不规则的，就是说，在长时间和大范围来观察，大尺度运动结构发生的地点和时划是不确定的．因此在大样本统计中我们不可能发现这种结构，这就是为什么经典的长时间统计未能察觉它们的原因。

另一方面，大尺度运动结构一旦生成，它以一定的动力学规律演化，因此湍流大尺度结构又称拟序结构，或相干结构。

举例来说，在湍流边界层、槽道或圆管湍流的近壁区(5<Y+<100)，间歇地发生猝发过程，它们是如下的拟序运动：有一股高速流动冲向壁面(称为下扫过程)，它导致近壁区(y+~10)产生流向涡(长度和直径比很大的涡管)；流向涡生成的初期，它缓缓升起，形成和壁面有一定倾角的管状涡(称为上抛过程)；当升至(y+~30~50)时，流向涡发生剧烈抖动直至破碎，在流向涡破碎的很短时间内，瞬时的脉动动量通量(-u'v')很大，可以达到平均脉动动量通量，即雷诺应力-(u'v')的100倍以上。

以上从流向涡的出现到破碎的全过程称为猝发，只要在近壁区触发流向涡，它就以“下扫-上抛-抖动-破碎”的序列演化，这就是大尺度运动的拟序性或相干性。

湍流中大涡拟序结构对于湍流生成和发展有主宰作用，因此抑制或消除大涡结构可能抑制整体的湍流强度，甚至使流动层流化。

这是近代湍流减阻和降噪的思想(Bushnell等，1989)。

湍流是多尺度有结构的不规则流体运动．它指出湍流运动的主要特征，同时也指出了研究湍流的困难所在．单纯的不规则运动，例如气体分子运动，是不规则粒子群的运动，比较容易用统计力学的方法来分析，因为宏观上它只有一个特征尺度—分子平均自由程．湍流的第一个困难是它的多尺度(理论上是无穷多尺度)如果无穷多尺度之间存在简单的关系，例如相似关系，这种多尺度系统也不难处理，但是湍流的多尺度不规则运动是有结构的，也就是说，不同尺度的运动之间的动力学关系足复杂的。

二、湍流数值模拟方法及其特点一个多世纪以来，尽管在湍流本质认识和实际应用方面，湍流研究都取得了很大的进步，但是随着计算流体力学及计算空气动力学方法的不断完善，计算机性能的不断提高，湍流的数值模拟方法已成为阻碍人们应用N—S方程进行水流运动特性分析、管道螺旋流水力输送研究、飞机设计等的瓶颈之一。

对湍流基础研究的进展，可以直接促进许多实际工程及科学应用的进步。

目前，湍流数值模拟的方法有：直接数值模拟(Direct Numerical simulation，DNS)、雷诺平均模拟(Reynolds Avemged Navier—Stokes，RANS)和大涡数值模拟(Large Eddy simulation，LES)。

1直接数值模拟(DNS)DNS依据非稳态的N—S方程对湍流进行直接模拟，计算包括脉动在内的湍流所有瞬时运动量在三维空间中的演变。

1.1控制方程用非稳态的N—S方程对紊流进行直接计算，控制方程以张量形式给出：(1)(2)1.2主要方法1.2.1谱方法或伪谱方法所谓谱方法或伪谱方法，粗略地说，就是将各未知函数对空间变量展开，成为以下形式：(3)式中与，都是已知的完备正交的特征函数族，它们可能已满足了连续方程或有关的边界条件，如未满足，则以后还要加上相应的约束条件。

将式(3)代人N—S方程，设法把原来物理空间的偏微分方程转化为一组关于展开系数的常微分方程组，然后用常规的有限差分法作时间推进，解出，再代回到展开式(3)中去，从而得到解。

1.2.2差分法其基本思想是利用离散点上函数值上的线性组合来逼近离散点上的导数值。

设,为函数的差分逼近式，则(4)式中系数由差分逼近式的精度确定。

将导数的逼近式代入控制流动的N—S方程，就得到流动数值模拟的差分方程。

差分离散方程必须满足相容性和稳定性。

1.3 特点分析DNS方法的主要特点：1)它是精确数值模拟湍流的方法，因而可以获得湍流场的全部信息，而试验测量则不可能完全实现。

2）由于直接对N—S方程模拟,故不存在封闭性问题，原则上可以求解所有湍流问题。

3）据Kim，Moin & Moser研究，即使模拟Re仅为3300的槽流，所用的网点数N就约达到了2×106，在向量计算机上进行了250 h。

所以，在现有的计算机能力限制下，只能模拟计算中低Re和简单几何边界湍流运动。

4）应用领域主要是湍流的探索性基础研究。

2 雷诺平均模拟(RANS)RANS是应用湍流统计理论，将非稳态的N—S方程对时间作平均，求解工程中需要的时均量。

该法是工程中常用的复杂湍流数值模拟方法。

2.1 控制方程对非稳态的N—S方程作时间演算，并采用Boussinesp假设，得到Reynolds方程(5)(6)式中，附加应力可记为，并称为雷诺应力。

这种方法只计算大尺度平均流动，而所有湍流脉动对平均流动的影响，体现到雷诺应力中。

正因为雷诺应力在控制方程中的出现，造成了方程不封闭。

为使方程组封闭，必须建立模型。

2.2 主要方法在RANS的发展过程中，人们根据不同的思想和理论，提出了各种各样的湍流模型。

面对越来越多自称“更新更好”的封闭模型，人们也越来越难分清它们之间的区别，对于使用模型的人来说，则困惑于究竟哪一模型最适合于他所研究的特定流动。

综观封闭雷诺应力的湍流模型，目前文献中广泛应用的是、RSM 和ASM。

2.2.1 模型标准模型采用各向同性和广义Boussinesq假设，将雷诺应力项变成速度对位移的协变导数项，使得方程封闭。

封闭方程为(7)(8)式中为涡粘系数，模型常数，，平均变形率张量:由于标准模型不能反映雷诺应力的各向异性、沿流向的松弛效应及平均涡量的影响，故在很多情况下，其计算结果均存在一定缺陷。

目前，文献中应用较多的是源于标准模型的模型(renormalization group，RNG)、非线性模型等各种修正模型。

非线性模型解决了常规模型不能正确地计算Reynolds正应力的问题，叶孟琪等人把一种非线性模型较好地应用于槽道流动和方截面管流中,但在平均剪切力很大的流场中有可能满足不了真实性条件。

2.2.2 雷诺应力模型(RSM)雷诺应力模型(RSM)完全抛弃了湍流粘性的概念，直接建立以，为因变量的偏微分方程，并通过模化封闭。

封闭目标是雷诺应力输运方程：(9) 式中是雷诺应力再分配项，是雷诺应力扩散项,是雷诺应力耗散项。

2.2.3 代数应力模型(ASM)代数应力模型(ASM)是一种忽略雷诺应力沿平均轨迹的变化和雷诺应力扩散项的简化雷诺应力模型(RSM)，它把各向异性融入到模型中，并把雷诺应力偏微分方程组变成代数方程组，使得方程封闭。

其代数方程为（10）式中为常数，为雷诺应力生成项，为湍动能生成项，和分别由湍动能和湍动能耗散方程算出。

2．3 特点分析雷诺平均模拟原理是先将紊流中的物理量如速度、浓度等分成扰动量及平均量，再对控制方程作时间平均，同时采用紊流模型仿真紊流的效应。