4781 Swedes; 18-74; 59% response rate. Liljeros et al. Nature 2001
Metabolic network
Archaea
Bacteria
Eukaryotes
Organisms from all three domains of life are scale-free networks!
相互作用与复杂性
晶格 全局相互作用 Internet
扩散
平均场
?
为什么研究复杂网络？
• 复杂系统不能够用分析的方法去研究， 必须考虑个体之间的关联和作用； • 理解复杂系统的行为应该从理解系统相互 作用网络的拓扑结构开始； • 网络拓扑结构的信息是构建系统模型、研 究系统性质和功能的基础。
为什么研究复杂网络？
复杂网络是构成复杂系统的基本框架（ backbone ）， 每一个复杂系统都可以看作是单元或个体之间的相互作 用网络； 复杂网络在刻画复杂性方面的重要性是由于结构和功能 之间是相互影响的。
复杂网络是研究复杂系统的一种角度和 方法，它关注系统中个体相互关联的作用的 拓扑结构，是理解复杂系统性质和功能的基 础。
P(k) ≈ e
− pN
10000个顶点
p=0.0015
度分布
幂律分布——Power 幂律分布——Power Law
−γ
P(k ) ∝ k
ln P (k ) ∝ −γ ln k
γ=-3
World Wide Web
Nodes: WWW documents Links: URL links 800 million documents (S. Lawrence, 1999)
WWW : addition of new documents Citation : publication of new papers
(2) The attachment is NOT uniform.
A node is linked with higher probability to a node that already has a large number of links.
Scale-free networks
其形成机制是什么？ 结构与功能？
BA偏好连接模型 BA偏好连接模型
——PREFERENTIAL ATTACHMENT (1) The number of nodes (N) is NOT fixed.
Networks continuously expand by the addition of new nodes Examples:
Palla et al. Nature 435, 9 (2005)
Santa Fe研究所的科学家合作网 Fe研究所的科学家合作网
Rhesus猴子网 Rhesus猴子网
Rhesus m onkey network(W EO)
经济物理学科学家合作网
A C
B
m ale fem ale D
066
065
AC DL 004
复杂网络
A food web
A Unified Approach towards the
Connection Topology
of various Complex Systems
网络研究的历史
1736，欧拉：哥尼斯堡七桥 1736，欧拉：哥尼斯堡七桥 1950， 1950，Erdos, Renyi: 随机图论 1998， 1998，Strogatz, Barabasi: 小世界和无 标度网络
Scale-free model
(1) GROWTH :
At every timestep we add a new node with m edges (connected to the nodes already present in the system).
(2) PREFERENTIAL ATTACHMENT :
Examples : WWW : new documents link to well known sites (CNN, YAHOO, NewYork Times, etc) Citation : well cited papers are more likely to be cited again
无标度网络对于顶点的随机移除非常稳健!
Percolation and Network Resilience
Callyway et al:
占据某个顶点的概率可以是该 顶点度值 k 的任意函数: qk. 的任意函数:
取 qk=θ(k-kmax), Heaviside step function
只需移除掉很少比例的顶点就可以完全摧毁网络中的最 大连通集团！
<k > Crand = p = N
Small World Network
C(p) : 平均聚集系数 L(p) : 平均最短路径
度分布
分布函数f(k)：
– 网络中度值为k的顶点占总点数的比例 网络中度值为k – 随机网络的度分布——Poisson分布 随机网络的度分布——Poisson分布
k ( pN)k −<k > < k > =e k! k!
技术网络
WWW 因特网 电力网
社会网络
朋友关系网 科学引文网
演员网 性关系网 科学家合著网
交通运输网络
航空网 城市公共交通网
道路交通网
生物网络
生态网络 蛋白质相互作用网络
神经网络 基因网络 新陈代谢网络
生命金字塔
不同领域的复杂网络
社会网：演员合作网，友谊网，姻亲关系网， 科研合作网，Email网 科研合作网，Email网 生物网：食物链网，神经网，新陈代谢网， 蛋白质网，基因网络 信息网络：WWW，专利使用，论文引用，计 信息网络：WWW，专利使用，论文引用，计 算机共享 技术网络：电力网，Internet，电话线路网， 技术网络：电力网，Internet，电话线路网， 交通运输网：航线网，铁路网，公路网，自 然河流网
复杂网络研究 ——现状与前瞻 ——现状与前瞻
狄增如 北京师范大学管理学院系统科学系 北京师范大学复杂性研究中心
北京大学---2007.11 北京大学---2007.11
关于复杂性
关于复杂性
我们所关心的问题：
– 大量个体（更典型的是具有适应性的主体） 所组成的复杂系统，在没有中心控制、非 完全信息、仅仅存在局域相互作用的条件 下，通过个体之间的非线性相互作用，可 以在宏观层次上涌现出一定的结构和功能。
P(k=500) ~ 10-6 10-
NWWW ~ 109 ⇒ N(k=500) ~ 103
INTERNET BACKBONE
Nodes: computers, routers Links: physical lines
(Faloutsos, Faloutsos and Faloutsos, 1999)
ACTOR CONNECTIVITIES
Nodes: actors Links: cast jointly
N = 212,250 actors 〈k〉 = 28.78 〉
γ P(k) ~k-γ
γ=2.3
SCIENCE CITATION INDEX
Nodes: papers Links: citations
一个简单的例子
K●=5 C●=0
K●=5 C●=1
规则网络
一般情况下， 聚集系数较大， 平均最短路径较长。
ER随机网络 ER随机网络
当p不太小时， 聚集系数较小， 平均最短路径较短。
随机网络的平均最短路径 及其与实证数据的比较
ln N lrand ≈ ln < k >
随机网络的平均聚集系数 及其与实证数据的比较
SCIENCE COAUTHORSHIP
Nodes: scientist (authors) Links: write paper together
பைடு நூலகம்
1736 PRL papers (1988)
(Newman, 2000, H. Jeong et al 2001)
Sex-web
Nodes: people (Females; Males) Links: sexual relationships
无标度网络对有目的的最大度攻击非常脆弱！
Error and Attack Tolerance
网络上的动力系统
– 例如：社会网络
如果网络中度值高的顶点倾向于与度值低的顶点相互连 接，则称网络具有反向匹配性质；
– 例如：大部分生物、技术网络
同向匹配 无标度网络
反向匹配 无标度网络
复杂网络中的社团结构 Community Structures
社团内部连接紧密，社团之间连接相对稀疏
Physics collaboration network
EC
EK
(b)
KE 022 R006
CY
076
ER EZ CN KD
网络模体--网络模体---Network Motifs
模体——在网络中密度明显较高的子
图（基本结构单元）
复杂网络演化模型
BA模型 BA模型
– 网络增长、偏好连接
基于蛋白质相互作用的演化模型
– 复制、分化、变异
优化演化模型
Most real world networks have the same internal structure:
网络的结构与功能
网络上的动力学行为和过程 动力系统：自旋、振子或混沌的同步、可激
发系统
传播过程：信息传播与拥堵、网络搜寻、运
输过程、疾病传播、谣言的传播、舆论形成