概率论与数理统计
随机变量及其概率分布
§2.7 二维随机变量的条件分布
一、二维离散型随机变量的条件分布
P( X
xi
|Y
yj)
P( X xi ,Y P(Y y j )
yj)
pij p• j
,
i
1, 2,3,
.
P(Y y j ) 0
二、二维连续型随机变量的条件分布
f X |Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
可知随机变量 U与V 不互相独立.
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2020年10月21日3时49分
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随机变量及其概率分布
例3 已知二维随机变量 (X ,Y ) 的联合密度函数
4xy, 0 x 1, 0 y 1, f (x, y) 0, 其它.
试问随机变量 X与Y 是否相互独立？
P( X
m|Y
n)
P{X m,Y P{Y n}
n}
p2 (1 p)n2 (n 1) p2 (1 p)n2
1 n 1
m 1, 2, , n 1
4
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随机变量及其概率分布
例2 一射手进行射击，每次射击击中目标的概率均为p (0<p<1 )，
且假设各次击中目标与否相互独立，射击进行到击中目标两次为止. 设以 X 表示到第一次击中目标所需要的射击次数，以 Y 表示总共
进行的射击次数. 试求 (X, Y) 的条件分布律. 解 (X, Y)的联合分布律为
关于X的边缘分布
当 m 1, 2, 时，在条件 X=m 下，随机变量 Y 的条件分布律为
f (x, y) fX (x) fY ( y). 或 fX|Y (x | y) fX (x)
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随机变量及其概率分布
例1 已知随机变量 (X ,Y )的 X Y 1 2
联合分布律为
试确定常数 a ,b
1 1/3 a
x2
(1
x2
),
0 x 1, 其它.
P( X
0.5)
0.5
fX
(x)dx
1
0.5
15 2
x2 (1
x2 )dx
47 64
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§2.8 随机变量的独立性
一、两个随机变量的独立性
随机变量及其概率分布
随机变量 X 与Y 相互独立等价于对任意实数x , y ，都有
X
1, 第一次取出的是白球 0, 第一次取出的是红球
Y
1,
0,
第二次取出的是白球 第二次取出的是红球
试在条件 X = 0 和 X = 1 下，分别求出随机变量Y 的条件分布
解
PY 0 | X 0 1
2
P Y 1| X 0 1
2
在条件 X = 0 下，随机变量Y的条件分布律为
Y|X 0 0 1
o
P(U 0,V 1) P(X Y, X 2Y) 0
12
x
P(U 1,V 0) P(X Y, X 2Y)
P(Y X 2Y)
1 4
P(U 1,V 1) 1 1 1 1 44 2
V U
0
1
pi
0 1/4 0
1/4
1 1/4 1/2 3/4
p j 1/2 1/2
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随机变量及其概率分布
所以随机变量(U ,V ) 的联合分布律和边缘分布律为
V U
0
1
pi
0
1/4 0 1/4
1 1/4 1/2 3/4
p j 1/2 1/2
由于 P(U 0,V 1) 0 P(U 0)P(V 1) 1 1 1 42 8
解 FU (u) P(U u) P( X1 u , X 2 u , , X n u)
P(X1 u)P(X2 u) P(Xn u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u)
P(Y yi | X 0) 1/2 1/2 在条件 X = 1 下，随机变量 Y 的分布律为
Y | X 1
01
P(Y yi | X 1) 3/4 1/4
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随机变量及其概率分布
例2 一射手进行射击，每次射击击中目标的概率均为p (0<p<1 )，
U max{X1, X2 , Xn} V min{X1, X2
, Xn}的分布函数.
FU (u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u)
FV (v) 1 (1 FX1 (v))(1 FX2 (v)) (1 FXn (v))
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分别以X 和Y 表示其体重和身高. 则 X 和Y 都是随机变量，
现在若限制 1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下去求 X 的条件分布
一、二维离散型随机变量的条件分布
定义 设二维离散型随机变量(X, Y) 对于固定的j ，有P(Y y j ) 0
则称
P( X
xi
|Y
yj)
P( X xi ,Y P(Y y j )
fX |Y (x | y) f (x, y) fY ( y)
( fY ( y) 0)
在条件X=x 下，随机变量 Y 的条件密度函数
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
( fX (x) 0)
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解
fX
(x)
f
(x,
y)dy
01 4xydy, 0,
0 x 1, 2x, 0 x 1, 其它. 0, 其它.
fY
( y)
f
(x,
y)dx
2 y, 0,
0 y 1, 其它.
可见，对任意实数x, y 有 f (x, y) fX (x) fY (y)
所以随机变量 X与Y 是相互独立的.
F(x, y) FX (x)FY ( y) 二维离散型随机变量 X 与Y 相互独立的充分必要条件为
P(X xi ,Y y j ) P(X xi )P(Y y j )
或 P(X xi | Y y j ) P(X xi ), i, j 1, 2,3, 二维连续型随机变量 X 与Y 相互独立的充分必要条件为
3
pi
b a b1/ 3
使 X 与Y 相互独立
解 先求出(X ,Y)关于X 和Y 的边缘分布律
由
1
2 1/6 1/9 1/18 3
pj
1 2
a1 b 1 9 18
P(X 2,Y 2) P(X 2)P(Y 2) P(X 2,Y 3) P(X 2)P(Y 3)
1 (a 1) 1 ,
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二、n 个随机变量的独立性
随机变量及其概率分布
例4 设随机变量 X i (i 1, 2, , n)相互独立，且分别具有分布函数
FXi (xi ), i 1, 2, n，设U max{X1, X2 , Xn}，V min{X1, X2 , Xn} 试求随机变量U和V 的分布函数.
f
(x,
y)dy
r2
0,
r2 x2 , r x r, 其它.
于是当-r<x<r 时，在条件 {X=x} 下, Y 的条件密度函数
fY|X ( y |
x)
f (x, y) fX (x)
2 0,
1， r2 x2
r2 x2 y 其它.
r2 x2，
随机变量(X, Y) 为均匀分布，其边缘分布不一定是均匀分布，
概率论与数理统计
§2.8 随机变量的独立性
一、两个随机变量的独立性
随机变量及其概率分布
若对任意实数 x , y ，二维随机变量(X,Y ) 都有
P(X x,Y y) P(X x)P(Y y)
则称随机变量X 和 Y 是相互独立的.
随机变量 X 与Y 相互独立等价于对任意实数 x , y ，都有
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上服从均匀分布，定义随机变量 1, X Y ,
U 0, X Y.
V
1, 0,
X 2Y , X 2Y.
试求随机变量 (U ,V ) 的联合分布律，并判断 U与V 是否相互独立？
y
yx
解 P(U 0,V 0) P(X Y, X 2Y)
2y x
P(X Y ) 1 / 2 1
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随机变量及其概率分布
例 3 设随机变量 (X, Y)在圆域 x2 y2 r2上服从二维均匀分布，求
(X, Y)的条件密度函数 fX |Y (x | y)和 fY|X ( y | x)
解
f
(x,
y)
1
r
2
,
x2
y2
r2,
0, 其它.
fY
( y)
f
( x,
y)dx
r2 y2 r2 y2
1
yj)
pij p• j