是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上（周期内）的 完备正交函数集。Ω为基波频率
信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间 (t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这 n个正交函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
不满足条件2的一个函数是
f t sin 2π ,0 t 1
t
f t
1
1
O
1t
对此函数，其周期为1，有
1
0
f tdt
1
说明
在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)
t0 T1 f (t ) d t t0
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都
是有限值，因为
Fn
1 T
T
f t ejn1t d t 1
解：f ( t ) 为 T 3 , 2 / T 2 / 3 的 周 期 信 号 ， 傅 里 叶 系 数 为
a n T 2 T 2 T 2 f( t ) c o s ( n t ) d t T 2 0 T 2 ( 1 ) c o s ( n t ) d t T 2 0 T 2 1 c o s ( n t ) d t
第2章
确知信号
西安电子科技大学 通信工程学院
通信原理（第7版）
樊昌信 曹丽娜 编著
课件制作：曹丽娜
本章内容:
第2章 确知信号
信号类型
——— 周期~非周期型 能量~功率型
信号频率性质
——— 频谱 频谱密度 能量谱密度 功率谱密度
信号时域性质
——— 自相关函数 互相关函数
西安电子科技大学 通信工程学院
t1t21(t)2*(t)dt 0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集：
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数 集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足
t1 t2i(t)j*(t)dt Ki0 ,0,
ij ij
则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。
2 1
t2t1
t1 t2[f(t)jn 1Cj j(t)]2dt
为使上式最小（系数Cj变化时），有
2
C i C i
t1 t2[f(t)jn 1Cj
j(t)2 ]dt0
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项
ห้องสมุดไป่ตู้
不为0，写为：
C i t1 t2[ 2 C if(t)i(t)C i2i2(t)d ]t0
… 满足上式的最小T0 （T0 > 0） 称为信号的基波周期。
非周期信号： 矩形脉冲
西安电子科技大学 通信工程学院
…
课件制作：曹丽娜
周期信号：定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。
连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m =0,±1,±2,…
T
T
f t d t
Fn
1 T
T
f t d t
例3
周期信号 f t 1 ,0， 周t 期1为1，不满足此条件。
t
f t
1
2 1 O
1
2t
欧拉公式
复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时，
此点可表示为 cosjsin
e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以用
计算方法定义为
问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差 在区间(t1，t2)内为最小？
信号的正交分解
问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差 在区间(t1，t2)内为最小。
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn 通常两个函数误差最小，是指这两个函数在区间(t1， t2)内的的方均值（均方误差）最小。均方误差为：
课件制作：曹丽娜
§2.1
确知信号de类型
西安电子科技大学 通信工程学院
课件制作：曹丽娜
何谓确知信号？
—— 在定义域内的任意时刻都有确定和可预知的函数值。否则， 为随机信号或不确知信号。
确知信号分类
—— 根据信号的不同特征，可将信号进行不同的分类。
1. 按照是否具有周期重复性区分
周期信号：每隔一定的时间间隔按相同规律重复 且 无始无终。
即：2t1 t2f(t)i(t)dt2 C i t1 t2 i2(t)dt0
所以系数
Ci
t2 t1
f(t)i(t)dt
1
t2
t1
i2(t)dt
Ki
t2 t1
f(t)i(t)dt
信号的能量
代入，得最小均方误差
2 1 [ t2t1
t1 t2f2(t)dtjn 1C 2 jKj]0
0
T
T 2n1 [sin(nt)]T 2T 2n1 [sin(nt)]0 2
考虑到Ω=2π/T，可得： a n 0
a0 0
b n T 2 T 2 T 2 f( t) s i n ( n t) 0 d t T 2 0 T 2 ( 1 ) s i n ( n t T ) d t T 2 0 T 2 1 s i n ( n t ) d t
-1
0
1
2
3
4
5
6
t
基波＋三次谐波＋五次谐波
1 0.5
0 -0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
t
基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波
1 0.5
0 -0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
t
傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。
虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}
T
● A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； ● 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
例：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。
f (t)
1
T T 0
TT
3T
t
2
2
2
1
T 3
例1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。
f (t)
1
T T 0
TT
3T
t
2
2
2
1
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
bn
2 T
T
2 T 2
f (t) sin( nt) d t
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
将上式同频率项合并，可写为
f
(t)
a0 2
n1
an
cos(nt)
an
bn
n1
sin(
nt)
f (t)
A0 2
n 1
An
cos(nt
n)
式中，A0 = a0 An an2 bn2
3. 完备正交函数集：
如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)} 之外，不存在任何函数 (t)(≠0）满足
t1t2(t)i(t)dt 0 ( i =1，2，…，n)
则称此函数集为完备正交函数集。
例如： 三角函数集 {1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 虚指数函数集 {ejnΩt，n=0，±1，±2，…}
(t) 0 t 0
(t) d t
1
(t)d t
0 (t ) d t
0
➢ 函数值只在t = 0时不为零； ➢ 积分面积为1；
δ(t)
(1)
➢ t =0 时， t ，为无界函数。 o
t
狄利克雷（Dirichlet）条件
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
0,
mn mn
mn mn
级数形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，
当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下
三角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数。
f
(t)
a0 2
an
n 1
cos(nt)
bn
n 1
sin( nt)
系数an , bn称为傅里叶系数。
an
2 T
信号将分解为一系列不同频率的正弦信号或复指数 信号之和或积分。
cos t 1 e jt 1 e jt
2
2
欧拉公式 e jt cost j sin t
—— 由时域分析转入变换域（频域）分析 傅里叶变换
频谱、带宽、滤波、调制
1. 信号正交定义：
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t)，若满足
2 n12
A 2 01 2n 1A nejnej n t1 2n 1A nejnej n t
上式中第三项的n用–n代换，
三、傅里叶级数的指数形式
1 2n 1A nejnejn t=1 2n - -1A -nej-nejn t
An 为偶函数，A– n=An，n为奇函数，– n= – n，
e
lim
n
1
1 n
n
2.71828
欧拉公式与三角函数的关系
三角函数可表示为
cos e j e j
2
欧拉(Euler)公式
sin e j e j
2j
sin t 1 e jt e jt 2j
e j t cos t j sin t