承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：08003020所属学校（请填写完整的全名）：东北石油大学参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

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）日期： 2014 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计和控制策略摘要嫦娥三号着陆器实现了我国首次地外天体软着陆任务，着陆器的制导、导航与控制系统是最重要的分系统之一。

为了保证着陆的高安全性，对动力下降过程中的制导、导航、避障和姿态控制都提出了很高的要求，因此需要对软着陆轨道进行精确的计算。

针对问题一，本文建立了天体卫星环绕模型，嫦娥三号绕月飞行轨道为椭圆，利用模型公式22GMd u r=进行近月点及远月点的速度大小计算，得到近月点速度大小为1.705km/s ，远月点速度大小为1.626km/s 。

利用经纬度计算公式 以及着陆点经纬度推算出近月点经纬度为 19.11W , 28.37N ，远月点经纬度为 160.89E , 28.37S 。

同时根据近月点和远月点的经纬度和海拔高度利用椭圆方程 22133218884.9763219870.988 1.036410x y +=⨯ ，用matlab 进行编程求解出：近月点处速度的方向：偏离月球0°经线所在面61.6°斜向上飞行 远月点处速度的方向：偏离月球0°经线所在面61.6°斜向下飞行针对问题二，本文基于燃料消耗最少原则建立了非线性规划模型，求解最优控制策略问题。

为使性能指标函数()00ft f t J mdt m m t =-=-⎰&达到最小，本文通过查阅文献，构造哈密顿函数 T (,,)=f x,)H x u u λλ（ ，根据庞特利亚金极大值原理，将原有复杂的规划问题转化为数学上对两点边值问题的求解，得到每个阶段最优控制策略为：主减速段,发动机全程以最大推进力工作，发动机动力主要以抵消水平方向的速度（1.705km/s ），该过程初速度1705m/s,末速度为57m/s,用时489s,消耗燃料1136.8kg 。

快速调整段，调姿发动机快速调整着陆器的姿态和推力,初速度57m/s,末速度16m/s ,用时25s,消耗燃料52.59kg 。

粗避障段，此阶段需要保证光学成像敏感器能够对着陆区成像并完成粗避障，初步确定着陆点，初速度16m/s,末速度0m/s,用时145s,消耗燃料72.15kg 。

本文用MATLAB 对附件3和附件4进行读取，得到陆区图像。

精避障段，悬停段的主要目的是利用三维成像敏感器对着陆区域进行精障碍检测, 给出着陆点位置信息，在目标上方悬停30s 后，缓慢降落，到距离月面30m 时，速度为1.53m/s,此过程共耗时65s ，消耗燃料19.93kg 。

缓速下降阶段，初速度为1.53m/s,末速度为0m/s,即到达距离着陆地点4m 时的速度。

最终，在距离月面4米处自由落体，用时2.213s,到达着陆点的速度3.61m/s.全过程用时746.5s ，嫦娥三号探测器总质量2.4t ，消耗燃料1293.35kg ，占总质量的53.91%。

针对问题三，本文对各个阶段都进行仔细的误差分析和敏感性分析，分析了每一阶段中可能产生误差的各个因素以及对轨道影响最敏感的因素。

通过对影响因素的深入计算，得出如何去减少误差，做到对轨道更精确的控制。

关键字: 天体卫星环绕模型 非线性规划 哈密顿函数 最优化一、问题重述随着科技的发展，我国航天事业也有了长足的发展和全新的突破,尤其是神舟五号飞船的成功发射，标志着我国航天史上一座新的里程碑诞生，是我国人民攀登世界科技高峰的又一个伟大壮举，它表明我国在航天技术方面已经走在了世界前列。

2013年12月2日1时30分嫦娥三号的成功发射又实现了在我国航天史上新的突破，此次对月球的造访历时四天，于12月6日抵达月球轨道。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。

在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于已设计好的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题假设1.假设可忽略月球自转的影响2.假设附件中所有先关数据真实可靠3.假设控制发动机系统的反应时间可以忽略不计4.假设嫦娥三号在进行环月轨道时地球对其吸引力可以忽略不计三、符号说明3.13.1.1t: 做抛体运动的时间g: 月球的重力加速度L: 运动的水平距离a ： 抛体水平的加速度R: 月球赤道半径r ： 月球极轴半径S: 每一经度对应的弧长3.1.2m ： 行星的质量T: 行星椭圆轨道周期a: 轨道长半轴b ： 轨道短半轴u m ：面积速度ω： 角速度r ： 轨道半径u ： 轨道速度G: 引力常数M: 主星天体质量d ： 椭圆焦半弦3.1.3x,y: 标准椭圆方程的坐标x y ''、：旋转后的椭圆方程对应的坐标θ： 旋转角度3.2v ： v ∈R 是探测器在矢径r 方向上的速度x ： x ∈R 是探测器方位角H 的角速度;m ： m ∈R 是探测器质量L ： 月球引力常数C ： 制动火箭的排气速度,是一个常值。

0r ： 0r R +∈是月心到近月点的距离f r ： f r R +∈是月球半径f v ： f v R +∈为探测器到达月面时的速度四、问题分析4.14.1.1 确定近月点和远月点的位置为了确定着陆准备轨道近月点和远月点的地理位置，由于题目中只给出了嫦娥三号的预定着陆点，所以此问将以此为突破口。

根据附件二中所给的相关数据可知在3000m 处嫦娥三号卫星进行快速调整姿态，在2400m 处卫星的水平速度为零，此后可视为垂直降落在月球表面上。

用落地点的经纬坐标再结合抛体运动的相关知识反推回在近月点处的经纬坐标，进而得到远月点的经纬坐标。

4.1.2嫦娥三号相应的速度的大小在计算近月点和远月点的速度时，因为此时嫦娥三号卫星做绕近月的椭圆形轨道运动，所以此时的近月点和远月点位置一定在椭圆轨道的拱点处，而且卫星所运行的轨道为椭圆形轨道，不能直接近似成圆，为了提高结果的准确性我们建立了求在椭圆轨道上拱点处的速度大小的模型。

4.1.3 嫦娥三号相应速度的方向根据高等数学相关知识已知曲线上某一点的速度方向为该点所在位置的切线方向,而该点处的一阶导数表示该点处的切线方向。

根据4.1.2中得出的椭圆轨道模型方程在标准椭圆方程上进行坐标变换得到新的椭圆轨道方程,再对其进行求导，代入数值即可。

4.2 确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制根据附件2中主减速发动机推动力与燃料质量和冲量间的关系，建立耗燃料最小的目标函数，通过构造哈密顿函数、庞特利亚金极大值原理等相关原理建立非线性约束条件，为了方便求解，将此问题转化成数学上对两点边值问题的求解。

4.3 对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感分析在4.2问题求解的基础上对影响轨道及控制策略的敏感性因素进行分析，经查阅相关文献得出嫦娥三号绕月飞行阶段的相关数据参数，针对嫦娥三号每一运行过程进行更为细致的误差分析和相应的模型改进。

五、问题求解5.1 问题一的模型求解5.1.1着陆准备轨道近月点和远月点的位置问题求解前的相关准备工作：经纬线的概念：经线也称子午线，和纬线一样是人类为度量方便而假设出来的辅助线，定义为地球表面连接南北两极的大圆线上的半圆弧。

任两根经线的长度相等，相交于南北两极点。

每一根经线都有其相对应的数值，称为经度。

经线指示南北方向。

纬线和经线一样是人类为度量方便而假设出来的辅助线，定义为地球表面某点随地球自转所形成的轨迹。

任何一根纬线都是圆形而且两两平行。

纬线的长度是赤道的周长乘以纬线的纬度的余弦，所以赤道最长，离赤道越远的纬线，周长越短，到了两极就缩为0。

纬线指示南北方向[1]。

月球椭球体概念：月球表面地形复杂，并不是规则的球面，这样的曲面无法用数学公式准确地表示。

为了便于研究，选择了一个大小和形状同月球极为接近的旋转椭球体来近似的表达地球的空间几何形态。

它由一个扁率很小的椭圆绕其短轴旋转而成的纯数学表面，称为月球椭球体，用公式表示为：22222x 1y z a b++= 计算经纬度模型：计算经向坐标差所在纬圈一纬度的弧长直接用经纬度计算两点间距离和测量误差时，主要考虑两个参数，即经、纬度平均每一度的距离( 弧长) ，纬度平均每一度的弧长大概是相等的，约为 111 000 m 。